1. 樹與樹的遍歷

樹是一種在實(shí)際編程中經(jīng)常遇到的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，它的邏輯結(jié)構(gòu)很簡單：除了根節(jié)點(diǎn)之外每個(gè)節(jié)點(diǎn)只有一個(gè)父節(jié)點(diǎn)，根節(jié)點(diǎn)沒有父節(jié)點(diǎn)；除了葉節(jié)點(diǎn)之外所有節(jié)點(diǎn)都有一個(gè)或者多個(gè)子節(jié)點(diǎn)，葉節(jié)點(diǎn)沒有子節(jié)點(diǎn)。父節(jié)點(diǎn)和子節(jié)點(diǎn)之間用指針鏈接。所謂的二叉樹是樹的一種特殊結(jié)構(gòu)，在二叉樹中每個(gè)節(jié)點(diǎn)最多只能有兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)。二叉樹最重要的莫過于遍歷，即按照某一順序訪問樹中的搜有的節(jié)點(diǎn)。通常樹有三種遍歷方式。

• 前序遍歷：根節(jié)點(diǎn)-左子節(jié)點(diǎn)-右子節(jié)點(diǎn)。上圖的遍歷順序?yàn)?#xff1a;10-6-4-8-14-12-16；
• 中序遍歷：左子節(jié)點(diǎn)-根節(jié)點(diǎn)-右子節(jié)點(diǎn)。上圖的遍歷順序?yàn)?#xff1a;4-6-8-10-12-14-16
• 后序遍歷：左子節(jié)點(diǎn)-右子節(jié)點(diǎn)-根節(jié)點(diǎn)。上圖的遍歷順序?yàn)?#xff1a;4-8-6-12-16-14-10
• 寬度優(yōu)先遍歷：自上到下，自左到右。 上圖的遍歷順序?yàn)?#xff1a;10-6-14-4-8-12-16

二叉搜索樹是二叉樹中的一個(gè)特例。在二叉搜索樹中，左子節(jié)點(diǎn)總是小于或者等于根節(jié)點(diǎn)，右子節(jié)點(diǎn)總是大于等于根節(jié)點(diǎn)。上圖實(shí)際上就是一棵二叉搜索樹。可以再平均O(logn)時(shí)間內(nèi)根據(jù)數(shù)值在二叉搜索樹中找到一個(gè)節(jié)點(diǎn)。

二叉樹還有兩個(gè)特例。分別是堆和紅黑樹。堆分為最大堆和最小堆。在最大堆中，根節(jié)點(diǎn)的值最大，在最小隊(duì)中，根節(jié)點(diǎn)的值最小。很多需要快速查找到最大值最小值的問題都可以通過堆來實(shí)現(xiàn)。紅黑樹是把樹中的結(jié)點(diǎn)定義為紅、黑兩種顏色，并通過確定規(guī)則使得從根節(jié)點(diǎn)到葉節(jié)點(diǎn)的最常路徑的長度不差偶偶最短路徑的二倍。在C++的STL中，set, multiset, map, multimap等數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)都是結(jié)余紅黑樹實(shí)現(xiàn)的。

2.利用前序遍歷和中序遍歷重建二叉樹

原理：

1.前序遍歷的第一個(gè)值對(duì)應(yīng)的就是節(jié)點(diǎn)；

2.利用該節(jié)點(diǎn)可以在中序遍歷中劃分左子樹和左子樹；

3.劃分子樹結(jié)束后，回到前序遍歷中又可以判斷節(jié)點(diǎn)，遞歸的過程；

#include "BinaryTree.h" #include <exception> #include <stdio.h> #include <stdlib.h> using namespace std;BinaryTreeNode* ConstructCore(int* startPreorder, int* endPreorder, int* startInorder, int* endInorder);BinaryTreeNode* Construct(int* preorder, int* inorder, int length) {if (preorder == NULL || inorder == NULL || length <= 0)return NULL;return ConstructCore(preorder, preorder + length - 1,inorder, inorder + length - 1); }BinaryTreeNode* ConstructCore ( int* startPreorder, int* endPreorder, int* startInorder, int* endInorder ) {// 前序遍歷序列的第一個(gè)數(shù)字是根結(jié)點(diǎn)的值int rootValue = startPreorder[0];BinaryTreeNode* root = new BinaryTreeNode();root->m_nValue = rootValue;root->m_pLeft = root->m_pRight = NULL;if (startPreorder == endPreorder){if (startInorder == endInorder && *startPreorder == *startInorder)return root;elsethrow std::exception("Invalid input.");}// 在中序遍歷中找到根結(jié)點(diǎn)的值int* rootInorder = startInorder;while (rootInorder <= endInorder && *rootInorder != rootValue)++rootInorder;if (rootInorder == endInorder && *rootInorder != rootValue)throw std::exception("Invalid input.");int leftLength = rootInorder - startInorder;int* leftPreorderEnd = startPreorder + leftLength;if (leftLength > 0){// 構(gòu)建左子樹root->m_pLeft = ConstructCore(startPreorder + 1, leftPreorderEnd,startInorder, rootInorder - 1);}if (leftLength < endPreorder - startPreorder){// 構(gòu)建右子樹root->m_pRight = ConstructCore(leftPreorderEnd + 1, endPreorder,rootInorder + 1, endInorder);}return root; }// ====================測試代碼==================== void Test(char* testName, int* preorder, int* inorder, int length) {if (testName != NULL)printf("%s begins:\n", testName);printf("The preorder sequence is: ");for (int i = 0; i < length; ++i)printf("%d ", preorder[i]);printf("\n");printf("The inorder sequence is: ");for (int i = 0; i < length; ++i)printf("%d ", inorder[i]);printf("\n");try{BinaryTreeNode* root = Construct(preorder, inorder, length);PrintTree(root);DestroyTree(root);}catch (std::exception& exception){printf("Invalid Input.\n");} }// 普通二叉樹 // 1 // / \ // 2 3 // / / \ // 4 5 6 // \ / // 7 8 void Test1() {const int length = 8;int preorder[length] = { 1, 2, 4, 7, 3, 5, 6, 8 };int inorder[length] = { 4, 7, 2, 1, 5, 3, 8, 6 };Test("Test1", preorder, inorder, length); }// 所有結(jié)點(diǎn)都沒有右子結(jié)點(diǎn) // 1 // / // 2 // / // 3 // / // 4 // / // 5 void Test2() {const int length = 5;int preorder[length] = { 1, 2, 3, 4, 5 };int inorder[length] = { 5, 4, 3, 2, 1 };Test("Test2", preorder, inorder, length); }// 所有結(jié)點(diǎn)都沒有左子結(jié)點(diǎn) // 1 // \ // 2 // \ // 3 // \ // 4 // \ // 5 void Test3() {const int length = 5;int preorder[length] = { 1, 2, 3, 4, 5 };int inorder[length] = { 1, 2, 3, 4, 5 };Test("Test3", preorder, inorder, length); }// 樹中只有一個(gè)結(jié)點(diǎn) void Test4() {const int length = 1;int preorder[length] = { 1 };int inorder[length] = { 1 };Test("Test4", preorder, inorder, length); }// 完全二叉樹 // 1 // / \ // 2 3 // / \ / \ // 4 5 6 7 void Test5() {const int length = 7;int preorder[length] = { 1, 2, 4, 5, 3, 6, 7 };int inorder[length] = { 4, 2, 5, 1, 6, 3, 7 };Test("Test5", preorder, inorder, length); }// 輸入空指針 void Test6() {Test("Test6", NULL, NULL, 0); }// 輸入的兩個(gè)序列不匹配 void Test7() {const int length = 7;int preorder[length] = { 1, 2, 4, 5, 3, 6, 7 };int inorder[length] = { 4, 2, 8, 1, 6, 3, 7 };Test("Test7: for unmatched input", preorder, inorder, length); }int main( ) {Test1();Test2();Test3();Test4();Test5();Test6();Test7();return 0; }

總結(jié)

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