• probabilistic & estimation：常用分布，共軛特性，最大似然估計，最大后驗估計，指數族和自然參數
• statistic properties：輔助機器學習算法證明，包括重要的切比雪夫不等式和馬爾科夫不等式

2. 統計特性 statistic properties

• 換元后的概率分布函數以及概率密度函數

• 對于向下取整的一些思考

?因此，P(Z<z)相對P(Y=floor(x))是獨立的，因為P(Z<z)中并不包含x項。

2.1 馬爾科夫不等式 Markovs inequality

在概率論中，馬爾可夫不等式給出了隨機變量的函數大于等于某正數的概率的上界。

markovs 不等式將概率與期望關聯在一起，并為隨機變量的累計密度分布提供了一個上確界。

2.2 切比雪夫不等式 Chebyshevs inequality

19世紀俄國數學家切比雪夫研究統計規律中，論證并用標準差表達了一個不等式。通俗的意義就是： 任意一個數據集中，位于其平均數m個標準差范圍內的比例總是至少為1－1/m^2，其中m為大于1的任意正數。例如：

• m=2 -> 所有數據中，至少有3/4（或75%）的數據位于平均數2個標準差范圍內。
• m=3 -> 所有數據中，至少有8/9（或88.9%）的數據位于平均數3個標準差范圍內。
• m=5 -> 所有數據中，至少有24/25（或96%)的數據位于平均數5個標準差范圍內 ?。

證明如下：

• 應用案例1：對于任何分布。如果他們的均值和方差已知，chebyshev不等式可以為隨機變量的概率分布提供一個:確界。

• 應用案例2：對于隨機變量X, Xn是概率收斂的

• 應用案例3：大數定律 law of large number

2.3?柯西—施瓦茨不等式 Cauchy-Schwarz inequality

柯西-施瓦茨不等式是一個在眾多背景下都有應用的不等式，例如線性代數，數學分析，概率論，向量代數以及其他許多領域。它被認為是數學中最重要的不等式之一。此不等式最初于1821年被柯西提出，其積分形式在1859被布尼亞克夫斯基提出，而積分形式的現代證明則由施瓦茲于1888年給出。

柯西—施瓦茨不等式的一個重要結果是內積為連續函數。

柯西—施瓦茨不等式有另一形式，可以用范的寫法表示：

對歐幾里得空間，有

對平方可積的復值函數，有

總結

以上是生活随笔為你收集整理的统计特性和概率估计-2 (数学推导与证明)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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