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上節課我們主要介紹了Decision Tree模型。Decision Tree算法的核心是通過遞歸的方式，將數據集不斷進行切割，得到子分支，最終形成數的結構。C&RT算法是決策樹比較簡單和常用的一種算法，其切割的標準是根據純度來進行，每次切割都是為了讓分支內部純度最大。最終，決策樹不同的分支得到不同的gt(x)gt(x)（即樹的葉子，C&RT算法中，gt(x)gt(x)是常數）。本節課將介紹隨機森林（Random Forest）算法，它是我們之前介紹的Bagging和上節課介紹的Decision Tree的結合。

Random Forest Algorithm

首先我們來復習一下之前介紹過的兩個機器學習模型：Bagging和Decision Tree。Bagging是通過bootstrap的方式，從原始的數據集D中得到新的D^D^；然后再使用一些base algorithm對每個D^D^都得到相應的gtgt；最后將所有的gtgt通過投票uniform的形式組合成一個G，G即為我們最終得到的模型。Decision Tree是通過遞歸形式，利用分支條件，將原始數據集D切割成一個個子樹結構，長成一棵完整的樹形結構。Decision Tree最終得到的G(x)是由相應的分支條件b(x)和分支樹Gc(x)Gc(x)遞歸組成。

Bagging和Decison Tree算法各自有一個很重要的特點。Bagging具有減少不同gtgt的方差variance的特點。這是因為Bagging采用投票的形式，將所有gtgtuniform結合起來，起到了求平均的作用，從而降低variance。而Decision Tree具有增大不同gtgt的方差variance的特點。這是因為Decision Tree每次切割的方式不同，而且分支包含的樣本數在逐漸減少，所以它對不同的資料D會比較敏感一些，從而不同的D會得到比較大的variance。

所以說，Bagging能減小variance，而Decision Tree能增大variance。如果把兩者結合起來，能否發揮各自的優勢，起到優勢互補的作用呢？這就是我們接下來將要討論的aggregation of aggregation，即使用Bagging的方式把眾多的Decision Tree進行uniform結合起來。這種算法就叫做隨機森林（Random Forest），它將完全長成的C&RT決策樹通過bagging的形式結合起來，最終得到一個龐大的決策模型。

Random Forest算法流程圖如下所示：

Random Forest算法的優點主要有三個。第一，不同決策樹可以由不同主機并行訓練生成，效率很高；第二，隨機森林算法繼承了C&RT的優點；第三，將所有的決策樹通過bagging的形式結合起來，避免了單個決策樹造成過擬合的問題。

以上是基本的Random Forest算法，我們再來看一下如何讓Random Forest中決策樹的結構更有多樣性。Bagging中，通過bootstrap的方法得到不同于D的D’，使用這些隨機抽取的資料得到不同的gtgt。除了隨機抽取資料獲得不同gtgt的方式之外，還有另外一種方法，就是隨機抽取一部分特征。例如，原來有100個特征，現在只從中隨機選取30個來構成決策樹，那么每一輪得到的樹都由不同的30個特征構成，每棵樹都不一樣。假設原來樣本維度是d，則只選擇其中的d’（d’小于d）個維度來建立決策樹結構。這類似是一種從d維到d’維的特征轉換，相當于是從高維到低維的投影，也就是說d’維z空間其實就是d維x空間的一個隨機子空間（subspace）。通常情況下，d’遠小于d，從而保證算法更有效率。Random Forest算法的作者建議在構建C&RT每個分支b(x)的時候，都可以重新選擇子特征來訓練，從而得到更具有多樣性的決策樹。

所以說，這種增強的Random Forest算法增加了random-subspace。

上面我們講的是隨機抽取特征，除此之外，還可以將現有的特征x，通過數組p進行線性組合，來保持多樣性：

?i(x)=pTix?i(x)=piTx

這種方法使每次分支得到的不再是單一的子特征集合，而是子特征的線性組合（權重不為1）。好比在二維平面上不止得到水平線和垂直線，也能得到各種斜線。這種做法使子特征選擇更加多樣性。值得注意的是，不同分支i下的pipi是不同的，而且向量pipi中大部分元素為零，因為我們選擇的只是一部分特征，這是一種低維映射。

所以，這里的Random Forest算法又有增強，由原來的random-subspace變成了random-combination。順便提一下，這里的random-combination類似于perceptron模型。

Out-Of-Bag Estimate

上一部分我們已經介紹了Random Forest算法，而Random Forest算法重要的一點就是Bagging。接下來將繼續探討bagging中的bootstrap機制到底蘊含了哪些可以為我們所用的東西。

通過bootstrap得到新的樣本集D’，再由D’訓練不同的gtgt。我們知道D’中包含了原樣本集D中的一些樣本，但也有些樣本沒有涵蓋進去。如下表所示，不同的gtgt下，紅色的表示在D^tD^t中沒有這些樣本。例如對g1g1來說，(x2,y2)(x2,y2)和(x3,y4)(x3,y4)沒有包含進去，對g2g2來說，(x1,y1)(x1,y1)和(x2,y2)(x2,y2)沒有包含進去，等等。每個gtgt中，紅色表示的樣本被稱為out-of-bag(OOB) example。

首先，我們來計算OOB樣本到底有多少。假設bootstrap的數量N’=N，那么某個樣本(xn,yn)(xn,yn)是OOB的概率是：

(1?1N)N=1(NN?1)N=1(1+1N?1)N≈1e(1?1N)N=1(NN?1)N=1(1+1N?1)N≈1e

其中，e是自然對數，N是原樣本集的數量。由上述推導可得，每個gtgt中，OOB數目大約是1eN1eN，即大約有三分之一的樣本沒有在bootstrap中被抽到。

然后，我們將OOB與之前介紹的Validation進行對比：

在Validation表格中，藍色的DtrainDtrain用來得到不同的g?mgm?，而紅色的DvalDval用來驗證各自的g?mgm?。DtrainDtrain與DvalDval沒有交集，一般DtrainDtrain是DvalDval的數倍關系。再看左邊的OOB表格，之前我們也介紹過，藍色的部分用來得到不同的gtgt，而紅色的部分是OOB樣本。而我們剛剛也推導過，紅色部分大約占N的1e1e。通過兩個表格的比較，我們發現OOB樣本類似于DvalDval，那么是否能使用OOB樣本來驗證gtgt的好壞呢？答案是肯定的。但是，通常我們并不需要對單個gtgt進行驗證。因為我們更關心的是由許多gtgt組合成的G，即使gtgt表現不太好，只要G表現足夠好就行了。那么問題就轉化成了如何使用OOB來驗證G的好壞。方法是先看每一個樣本(xn,yn)(xn,yn)是哪些gtgt的OOB資料，然后計算其在這些gtgt上的表現，最后將所有樣本的表現求平均即可。例如，樣本(xN,yN)(xN,yN)是g2g2，g3g3，gTgT的OOB，則可以計算(xN,yN)(xN,yN)在G?N(x)GN?(x)上的表現為：

G?N(x)=average(g2,g3,gT)GN?(x)=average(g2,g3,gT)

這種做法我們并不陌生，就像是我們之前介紹過的Leave-One-Out Cross Validation，每次只對一個樣本進行g?g?的驗證一樣，只不過這里選擇的是每個樣本是哪些gtgt的OOB，然后再分別進行G?n(x)Gn?(x)的驗證。每個樣本都當成驗證資料一次（與留一法相同），最后計算所有樣本的平均表現：

Eoob(G)=1N∑n=1Nerr(yn,G?n(xn))Eoob(G)=1N∑n=1Nerr(yn,Gn?(xn))

Eoob(G)Eoob(G)估算的就是G的表現好壞。我們把EoobEoob稱為bagging或者Random Forest的self-validation。

這種self-validation相比于validation來說還有一個優點就是它不需要重復訓練。如下圖左邊所示，在通過DvalDval選擇到表現最好的g?m?gm??之后，還需要在DtrainDtrain和DvalDval組成的所有樣本集D上重新對該模型g?m?gm??訓練一次，以得到最終的模型系數。但是self-validation在調整隨機森林算法相關系數并得到最小的EoobEoob之后，就完成了整個模型的建立，無需重新訓練模型。隨機森林算法中，self-validation在衡量G的表現上通常相當準確。

Feature Selection

如果樣本資料特征過多，假如有10000個特征，而我們只想從中選取300個特征，這時候就需要舍棄部分特征。通常來說，需要移除的特征分為兩類：一類是冗余特征，即特征出現重復，例如“年齡”和“生日”；另一類是不相關特征，例如疾病預測的時候引入的“保險狀況”。這種從d維特征到d’維特征的subset-transform Φ(x)Φ(x)稱為Feature Selection，最終使用這些d’維的特征進行模型訓練。

特征選擇的優點是：

• 提高效率，特征越少，模型越簡單

• 正則化，防止特征過多出現過擬合

• 去除無關特征，保留相關性大的特征，解釋性強

同時，特征選擇的缺點是：

• 篩選特征的計算量較大

• 不同特征組合，也容易發生過擬合

• 容易選到無關特征，解釋性差

值得一提的是，在decision tree中，我們使用的decision stump切割方式也是一種feature selection。

那么，如何對許多維特征進行篩選呢？我們可以通過計算出每個特征的重要性（即權重），然后再根據重要性的排序進行選擇即可。

這種方法在線性模型中比較容易計算。因為線性模型的score是由每個特征經過加權求和而得到的，而加權系數的絕對值|wi||wi|正好代表了對應特征xixi的重要性為多少。|wi||wi|越大，表示對應特征xixi越重要，則該特征應該被選擇。w的值可以通過對已有的數據集(xi,yi)(xi,yi)建立線性模型而得到。

然而，對于非線性模型來說，因為不同特征可能是非線性交叉在一起的，所以計算每個特征的重要性就變得比較復雜和困難。例如，Random Forest就是一個非線性模型，接下來，我們將討論如何在RF下進行特征選擇。

RF中，特征選擇的核心思想是random test。random test的做法是對于某個特征，如果用另外一個隨機值替代它之后的表現比之前更差，則表明該特征比較重要，所占的權重應該較大，不能用一個隨機值替代。相反，如果隨機值替代后的表現沒有太大差別，則表明該特征不那么重要，可有可無。所以，通過比較某特征被隨機值替代前后的表現，就能推斷出該特征的權重和重要性。

那么random test中的隨機值如何選擇呢？通常有兩種方法：一是使用uniform或者gaussian抽取隨機值替換原特征；一是通過permutation的方式將原來的所有N個樣本的第i個特征值重新打亂分布（相當于重新洗牌）。比較而言，第二種方法更加科學，保證了特征替代值與原特征的分布是近似的（只是重新洗牌而已）。這種方法叫做permutation test（隨機排序測試），即在計算第i個特征的重要性的時候，將N個樣本的第i個特征重新洗牌，然后比較D和D(p)D(p)表現的差異性。如果差異很大，則表明第i個特征是重要的。

知道了permutation test的原理后，接下來要考慮的問題是如何衡量上圖中的performance，即替換前后的表現。顯然，我們前面介紹過performance可以用Eoob(G)Eoob(G)來衡量。但是，對于N個樣本的第i個特征值重新洗牌重置的D(p)D(p)，要對它進行重新訓練，而且每個特征都要重復訓練，然后再與原D的表現進行比較，過程非常繁瑣。為了簡化運算，RF的作者提出了一種方法，就是把permutation的操作從原來的training上移到了OOB validation上去，記為Eoob(G(p))→E(p)oob(G)Eoob(G(p))→Eoob(p)(G)。也就是說，在訓練的時候仍然使用D，但是在OOB驗證的時候，將所有的OOB樣本的第i個特征重新洗牌，驗證G的表現。這種做法大大簡化了計算復雜度，在RF的feature selection中應用廣泛。

Random Forest in Action

最后，我們通過實際的例子來看一下RF的特點。首先，仍然是一個二元分類的例子。如下圖所示，左邊是一個C&RT樹沒有使用bootstrap得到的模型分類效果，其中不同特征之間進行了隨機組合，所以有斜線作為分類線；中間是由bootstrap（N’=N/2）后生成的一棵決策樹組成的隨機森林，圖中加粗的點表示被bootstrap選中的點；右邊是將一棵決策樹進行bagging后的分類模型，效果與中間圖是一樣的，都是一棵樹。

當t=100，即選擇了100棵樹時，中間的模型是第100棵決策樹構成的，還是只有一棵樹；右邊的模型是由100棵決策樹bagging起來的，如下圖所示：

當t=200時：

當t=300時：

當t=400時：

當t=500時：

當t=600時：

當t=700時：

當t=800時：

當t=900時：

當t=1000時：

隨著樹木個數的增加，我們發現，分界線越來越光滑而且得到了large-margin-like boundary，類似于SVM一樣的效果。也就是說，樹木越多，分類器的置信區間越大。

然后，我們再來看一個比較復雜的例子，二維平面上分布著許多離散點，分界線形如sin函數。當只有一棵樹的時候（t=1），下圖左邊表示單一樹組成的RF，右邊表示所有樹bagging組合起來構成的RF。因為只有一棵樹，所以左右兩邊效果一致。

當t=6時：

當t=11時：

當t=16時：

當t=21時：

可以看到，當RF由21棵樹構成的時候，分界線就比較平滑了，而且它的邊界比單一樹構成的RF要robust得多，更加平滑和穩定。

最后，基于上面的例子，再讓問題復雜一點：在平面上添加一些隨機噪聲。當t=1時，如下圖所示：

當t=6時：

當t=11時：

當t=16時：

當t=21時：

從上圖中，我們發現21棵樹的時候，隨機noise的影響基本上能夠修正和消除。這種bagging投票的機制能夠保證較好的降噪性，從而得到比較穩定的結果。

經過以上三個例子，我們發現RF中，樹的個數越多，模型越穩定越能表現得好。在實際應用中，應該盡可能選擇更多的樹。值得一提的是，RF的表現同時也與random seed有關，即隨機的初始值也會影響RF的表現。

總結：

本節課主要介紹了Random Forest算法模型。RF將bagging與decision tree結合起來，通過把眾多的決策樹組進行組合，構成森林的形式，利用投票機制讓G表現最佳，分類模型更穩定。其中為了讓decision tree的隨機性更強一些，可以采用randomly projected subspaces操作，即將不同的features線性組合起來，從而進行各式各樣的切割。同時，我們也介紹了可以使用OOB樣本來進行self-validation，然后可以使用self-validation來對每個特征進行permutaion test，得到不同特征的重要性，從而進行feature selection?？偟膩碚f，RF算法能夠得到比較平滑的邊界，穩定性強，前提是有足夠多的樹。

注明：

文章中所有的圖片均來自臺灣大學林軒田《機器學習技法》課程

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的台湾大学林轩田机器学习技法课程学习笔记10 -- Random Forest的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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