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Adaptive Boosted Decision Tree

Random Forest的算法流程我們之前已經詳細介紹過，就是先通過bootstrapping“復制”原樣本集D，得到新的樣本集D’；然后對每個D’進行訓練得到不同的decision tree和對應的gt；最后再將所有的gt通過uniform的形式組合起來，即以投票的方式得到G。這里采用的Bagging的方式，也就是把每個gt的預測值直接相加?，F(xiàn)在，如果將Bagging替換成AdaBoost，處理方式有些不同。首先每輪bootstrap得到的D’中每個樣本會賦予不同的權重；然后在每個decision tree中，利用這些權重訓練得到最好的gt；最后得出每個gt所占的權重，線性組合得到G。這種模型稱為AdaBoost-D Tree。

但是在AdaBoost-DTree中需要注意的一點是每個樣本的權重。我們知道，在Adaptive Boosting中進行了bootstrap操作，u(t)表示D中每個樣本在D’中出現(xiàn)的次數(shù)。但是在決策樹模型中，例如C&RT算法中并沒有引入u(t)。那么，如何在決策樹中引入這些權重來得到不同的gt而又不改變原來的決策樹算法呢？

在Adaptive Boosting中，我們使用了weighted algorithm，形如：

每個犯錯誤的樣本點乘以相應的權重，求和再平均，最終得到了E。如果在決策樹中使用這種方法，將當前分支下犯錯誤的點賦予權重，每層分支都這樣做，會比較復雜，不易求解。為了簡化運算，保持決策樹算法本身的穩(wěn)定性和封閉性，我們可以把決策樹算法當成一個黑盒子，即不改變其結構，不對算法本身進行修改，而從數(shù)據(jù)來源D’上做一些處理。按照這種思想，我們來看權重u實際上表示該樣本在bootstrap中出現(xiàn)的次數(shù)，反映了它出現(xiàn)的概率。那么可以根據(jù)u值，對原樣本集D進行一次重新的隨機sampling，也就是帶權重的隨機抽樣。sampling之后，會得到一個新的D’，D’中每個樣本出現(xiàn)的幾率與它權重u所占的比例應該是差不多接近的。因此，使用帶權重的sampling操作，得到了新的樣本數(shù)據(jù)集D’，可以直接代入決策樹進行訓練，從而無需改變決策樹算法結構。sampling可看成是bootstrap的反操作，這種對數(shù)據(jù)本身進行修改而不更改算法結構的方法非常重要！

所以，AdaBoost-DTree結合了AdaBoost和DTree，但是做了一點小小的改變，就是使用sampling替代權重u(t)，效果是相同的。

上面我們通過使用sampling，將不同的樣本集代入決策樹中，得到不同的gt。除此之外，我們還要確定每個gt所占的權重αt。之前我們在AdaBoost中已經介紹過，首先算出每個gt的錯誤率?t，然后計算權重：

顯然αt=∞不是我們想看到的，因為autocracy總是不好的，我們希望使用aggregation將不同的gtgt結合起來，發(fā)揮集體智慧來得到最好的模型G。首先，我們來看一下什么原因造成了αt=∞。有兩個原因：一個是使用了所有的樣本進行訓練；一個是樹的分支過多，fully grown。針對這兩個原因，我們可以對樹做一些修剪（pruned），比如只使用一部分樣本，這在sampling的操作中已經起到這類作用，因為必然有些樣本沒有被采樣到。除此之外，我們還可以限制樹的高度，讓分支不要那么多，從而避免樹fully grown。

因此，AdaBoost-DTree使用的是pruned DTree，也就是說將這些預測效果較弱的樹結合起來，得到最好的G，避免出現(xiàn)autocracy。

剛才我們說了可以限制樹的高度，那索性將樹的高度限制到最低，即只有1層高的時候，有什么特性呢？當樹高為1的時候，整棵樹只有兩個分支，切割一次即可。如果impurity是binary classification error的話，那么此時的AdaBoost-DTree就跟AdaBoost-Stump沒什么兩樣。也就是說AdaBoost-Stump是AdaBoost-DTree的一種特殊情況。

值得一提是，如果樹高為1時，通常較難遇到?t=0的情況，且一般不采用sampling的操作，而是直接將權重u代入到算法中。這是因為此時的AdaBoost-DTree就相當于是AdaBoost-Stump，而AdaBoost-Stump就是直接使用u來優(yōu)化模型的。

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Optimization View of AdaBoost

接下來，我們繼續(xù)將繼續(xù)探討AdaBoost算法的一些奧妙之處。我們知道AdaBoost中的權重的迭代計算如下所示：

之前對于incorrect樣本和correct樣本，表達式不同?，F(xiàn)在，把兩種情況結合起來，將上式寫成一種簡化的形式：

接下來我們繼續(xù)看一下voting score中蘊含了哪些內容。如下圖所示，voting score由許多gt(xn)乘以各自的系數(shù)αt線性組合而成。從另外一個角度來看，我們可以把gt(xn)看成是對xn的特征轉換?i(xn)，αt就是線性模型中的權重wi?？吹竭@里，我們回憶起之前SVM中，w與?(xn)的乘積再除以w的長度就是margin，即點到邊界的距離。另外，乘積項再與yn相乘，表示點的位置是在正確的那一側還是錯誤的那一側。所以，回過頭來，這里的voting score實際上可以看成是沒有正規(guī)化（沒有除以w的長度）的距離，即可以看成是該點到分類邊界距離的一種衡量。從效果上說，距離越大越好，也就是說voting score要盡可能大一些。

其中，wt是泰勒展開的位置，v是所要求的下降的最好方向，它是梯度?Ein(wt)的反方向，而η是每次前進的步長。則每次沿著當前梯度的反方向走一小步，就會不斷逼近谷底（最小值）。這就是梯度下降算法所做的事情。

現(xiàn)在，我們對E做梯度下降算法處理，區(qū)別是這里的方向是一個函數(shù)gt，而不是一個向量wt。其實，函數(shù)和向量的唯一區(qū)別就是一個下標是連續(xù)的，另一個下標是離散的，二者在梯度下降算法應用上并沒有大的區(qū)別。因此，按照梯度下降算法的展開式，做出如下推導：

以上就是從數(shù)學上，從gradient descent角度驗證了AdaBoost中使用base algorithm得到的gt就是讓E減小的方向，只不過這個方向是一個函數(shù)而不是向量。

在解決了方向問題后，我們需要考慮步進長度η如何選取。方法是在確定方向gt后，選取合適的η，使E取得最小值。也就是說，把E看成是步進長度η的函數(shù)，目標是找到E最小化時對應的η值。

目的是找到在最佳方向上的最大步進長度，也就是steepest decent。我們先把E表達式寫下來：

上式中，有兩種情況需要考慮：

經過推導，可得：

然后對η求導，令導數(shù)為零，得：

由此看出，最大的步進長度就是αt，即AdaBoost中計算gt所占的權重。所以，AdaBoost算法所做的其實是在gradient descent上找到下降最快的方向和最大的步進長度。這里的方向就是gt，它是一個函數(shù)，而步進長度就是αt。也就是說，在AdaBoost中確定gt和αt的過程就相當于在gradient descent上尋找最快的下降方向和最大的步進長度。

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Gradient Boosting

前面我們從gradient descent的角度來重新介紹了AdaBoost的最優(yōu)化求解方法。整個過程可以概括為：

以上是針對binary classification問題。如果往更一般的情況進行推廣，對于不同的error function，比如logistic error function或者regression中的squared error function，那么這種做法是否仍然有效呢？這種情況下的GradientBoost可以寫成如下形式：

仍然按照gradient descent的思想，上式中，h(xn)是下一步前進的方向，η是步進長度。此時的error function不是前面所講的exp了，而是任意的一種error function。因此，對應的hypothesis也不再是binary classification，最常用的是實數(shù)輸出的hypothesis，例如regression。最終的目標也是求解最佳的前進方向h(xn)和最快的步進長度η。

接下來，我們就來看看如何求解regression的GradientBoost問題。它的表達式如下所示：

利用梯度下降的思想，我們把上式進行一階泰勒展開，寫成梯度的形式：

上式中，由于regression的error function是squared的，所以，對s的導數(shù)就是2(sn?yn)。其中標注灰色的部分表示常數(shù)，對最小化求解并沒有影響，所以可以忽略。很明顯，要使上式最小化，只要令h(xn)是梯度2(sn?yn)的反方向就行了，即h(xn)=?2(sn?yn)。但是直接這樣賦值，并沒有對h(xn)的大小進行限制，一般不直接利用這個關系求出h(xn)。

實際上h(xn)的大小并不重要，因為有步進長度η。那么，我們上面的最小化問題中需要對h(xn)的大小做些限制。限制h(xn)的一種簡單做法是把h(xn)的大小當成一個懲罰項（h(xn)*h(xn)）添加到上面的最小化問題中，這種做法與regularization類似。如下圖所示，經過推導和整理，忽略常數(shù)項，我們得到最關心的式子是：

上式是一個完全平方項之和，yn?sn表示當前第n個樣本真實值和預測值的差，稱之為余數(shù)。余數(shù)表示當前預測能夠做到的效果與真實值的差值是多少。那么，如果我們想要讓上式最小化，求出對應的h(xn)的話，只要讓h(xn)盡可能地接近余數(shù)yn?sn即可。在平方誤差上盡可能接近其實很簡單，就是使用regression的方法，對所有N個點(xn,yn?sn)做squared-error的regression，得到的回歸方程就是我們要求的gt(xn)。

以上就是使用GradientBoost的思想來解決regression問題的方法，其中應用了一個非常重要的概念，就是余數(shù)yn?sn。根據(jù)這些余數(shù)做regression，得到好的矩gt(xn)，方向函數(shù)gt(xn)也就是由余數(shù)決定的。

在求出最好的方向函數(shù)gt(xn)之后，就要來求相應的步進長度η。表達式如下：

同樣，對上式進行推導和化簡，得到如下表達式：

上式中也包含了余數(shù)yn?sn，其中gt(xn)可以看成是xn的特征轉換，是已知量。那么，如果我們想要讓上式最小化，求出對應的η的話，只要讓ηgt(xn)盡可能地接近余數(shù)yn?sn即可。顯然，這也是一個regression問題，而且是一個很簡單的形如y=ax的線性回歸，只有一個未知數(shù)η。只要對所有N個點(ηgt(xn),yn?sn)做squared-error的linear regression，利用梯度下降算法就能得到最佳的η。

將上述這些概念合并到一起，我們就得到了一個最終的演算法Gradient Boosted Decision Tree(GBDT)。可能有人會問，我們剛才一直沒有說到Decison Tree，只是講到了GradientBoost啊？下面我們來看看Decison Tree究竟是在哪出現(xiàn)并使用的。其實剛剛我們在計算方向函數(shù)gt的時候，是對所有N個點(xn,yn?sn)做squared-error的regression。那么這個回歸算法就可以是決策樹C&RT模型（決策樹也可以用來做regression）。這樣，就引入了Decision Tree，并將GradientBoost和Decision Tree結合起來，構成了真正的GBDT算法。GBDT算法的基本流程圖如下所示：

值得一提的是，本節(jié)課第一部分介紹的AdaBoost-DTree是解決binary classification問題，而此處介紹的GBDT是解決regression問題。二者具有一定的相似性，可以說GBDT就是AdaBoost-DTree的regression版本。

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Summary ofAggregation Models

從機器學習技法課程的第7節(jié)課筆記到現(xiàn)在的第11節(jié)課筆記，我們已經介紹完所有的aggregation模型了。接下來，我們將對這些內容進行一個簡單的總結和概括。

首先，我們介紹了blending。blending就是將所有已知的gt aggregate結合起來，發(fā)揮集體的智慧得到G。值得注意的一點是這里的gtgt都是已知的。blending通常有三種形式：

• uniform：簡單地計算所有gtgt的平均值

• non-uniform：所有gtgt的線性組合

• conditional：所有gtgt的非線性組合

其中，uniform采用投票、求平均的形式更注重穩(wěn)定性；而non-uniform和conditional追求的更復雜準確的模型，但存在過擬合的危險。

剛才講的blending是建立在所有gtgt已知的情況。那如果所有gt未知的情況，對應的就是learning模型，做法就是一邊學gt，一邊將它們結合起來。learning通常也有三種形式（與blending的三種形式一一對應）：

• Bagging：通過bootstrap方法，得到不同gt，計算所有gt的平均值

• AdaBoost：通過bootstrap方法，得到不同gt，所有gt的線性組合

• Decision Tree：通過數(shù)據(jù)分割的形式得到不同的gt，所有gt的非線性組合

然后，本節(jié)課我們將AdaBoost延伸到另一個模型GradientBoost。對于regression問題，GradientBoost通過residual fitting的方式得到最佳的方向函數(shù)gt和步進長度η。

除了這些基本的aggregation模型之外，我們還可以把某些模型結合起來得到新的aggregation模型。例如，Bagging與Decision Tree結合起來組成了Random Forest。Random Forest中的Decision Tree是比較“茂盛”的樹，即每個樹的gt都比較強一些。AdaBoost與Decision Tree結合組成了AdaBoost-DTree。AdaBoost-DTree的Decision Tree是比較“矮弱”的樹，即每個樹的gt都比較弱一些，由AdaBoost將所有弱弱的樹結合起來，讓綜合能力更強。同樣，GradientBoost與Decision Tree結合就構成了經典的算法GBDT。

Aggregation的核心是將所有的gtgt結合起來，融合到一起，即集體智慧的思想。這種做法之所以能得到很好的模型G，是因為aggregation具有兩個方面的優(yōu)點：cure underfitting和cure overfitting。

第一，aggregation models有助于防止欠擬合（underfitting）。它把所有比較弱的gt結合起來，利用集體智慧來獲得比較好的模型G。aggregation就相當于是feature transform，來獲得復雜的學習模型。

第二，aggregation models有助于防止過擬合（overfitting）。它把所有gtgt進行組合，容易得到一個比較中庸的模型，類似于SVM的large margin一樣的效果，從而避免一些極端情況包括過擬合的發(fā)生。從這個角度來說，aggregation起到了regularization的效果。

由于aggregation具有這兩個方面的優(yōu)點，所以在實際應用中aggregation models都有很好的表現(xiàn)。

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Summary

本文主要介紹了Gradient Boosted Decision Tree。首先講如何將AdaBoost與Decision Tree結合起來，即通過sampling和pruning的方法得到AdaBoost-D Tree模型。然后，我們從optimization的角度來看AdaBoost，找到好的hypothesis也就是找到一個好的方向，找到權重α也就是找到合適的步進長度。接著，我們從binary classification的0/1 error推廣到其它的error function，從Gradient Boosting角度推導了regression的squared error形式。Gradient Boosting其實就是不斷迭代，做residual fitting。并將其與Decision Tree算法結合，得到了經典的GBDT算法。最后，我們將所有的aggregation models做了總結和概括，這些模型有的能防止欠擬合有的能防止過擬合，應用十分廣泛。

往期回顧

【1】一文詳解Blending和Bagging

【2】通俗易懂講解自適應提升算法AdaBoost

【3】一文詳解決策樹算法模型

【4】通俗解釋隨機森林算法

【5】線性支持向量機

【6】干貨 | 吳恩達deeplearning.ai專項課程歷史文章匯總

【7】簡單的梯度下降算法，你真的懂了嗎？

【8】力薦 | 臺大林軒田《機器學習基石》資源匯總

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的GBDT！深入浅出详解梯度提升决策树的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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