8个球放入3个盒子方式_球放进盒子问题(8种, 可变形)
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假設(shè)有m個(gè)小球,放入n個(gè)盒子里(),有幾種放法?
(1)盒子不同,球不同,允許有空。
由于每個(gè)球有n種選法,故有nm種。
(2)盒子不同,球相同,允許有空。(隔板法)
例:將20個(gè)大小形狀完全相同的小球放入3個(gè)不同的盒子,允許有盒子為空,但球必須放完,有多少種不同的方法?
分析:本題中的小球大小形狀完全相同,故這些小球沒有區(qū)別,問題等價(jià)于將小球分成三組,允許有若干組無元素,用隔板法.
解析:將20個(gè)小球分成三組需要兩塊隔板,因?yàn)樵试S有盒子為空,不符合隔板法的原理,那就人為的再加上3個(gè)小球,保證每個(gè)盒子都至少分到一個(gè)小球,那就符合隔板法的要求了。然后就變成待分小球總數(shù)為23個(gè),球中間有22個(gè)空檔,需要在這22個(gè)空檔里加入2個(gè)隔板來分隔為3份,共有C(22,2)=231種不同的方法
理解:每次選好后(每個(gè)盒子都有至少一個(gè)球),再把每個(gè)盒子減去一,就是最總應(yīng)該選的數(shù)量。
(3)盒子不同,球相同,不行有空。
以上兩種可返樸歸真到求不定方程?的非負(fù)整數(shù)解及正整數(shù)解的個(gè)數(shù)的問題。由此得出(2)的結(jié)果為(,原來的,感覺有錯(cuò),現(xiàn)在:
C(n + m - 1, n - 1)),(3)的結(jié)果為。
(4)盒子相同,球不同,不許有空。
(5)盒子不同,球不同,不許有空。
(6)盒子相同,球不同,允許有空。
其中(4)可返樸歸真到集合問題,即令,且A1, A2,…, An為A的n個(gè)非空相斥的真子集,且,求有幾類這樣的劃分方法。
由容斥原理不難得出有種劃分方法,即為(4)的答案。
(5)題與(4)題惟一的區(qū)別即為盒子是不同的,在(4)的基礎(chǔ)上乘以n!即可。答案為:
將(6)分類討論:恰有k個(gè)盒子有(或無)空(k=1,2,…,n)。若記(4)為f(m,n),則(6)的結(jié)果為,即有種放法。
(7)盒子相同,球相同,不許有空。
(8)盒子相同,球相同,允許有空。
(7)可返樸歸真為數(shù)的分拆問題。即把正整數(shù)m分拆為n個(gè)正整數(shù)相加的形式(無序)的分法。如5=1+2+2視作一種分法,5=1+2+2與5=2+1+2視作同一種分法。根據(jù)數(shù)列知識(shí)易求得答案為:
的xm項(xiàng)系數(shù)(通過長除法求得)
記(7)為g(m,n)
下面分析(8)。同(6)分類討論的思想,易得(8)的答案為。( 8 ==》A(n + m, n), 取盒子n排列 )
總結(jié)
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