原標題：數(shù)學(xué)系離散數(shù)學(xué)的幾大核心領(lǐng)域

數(shù)學(xué)系里一般不叫離散數(shù)學(xué)，一般都稱為組合數(shù)學(xué)(Combinatorics)。這里注意一下，組合數(shù)學(xué)研究的對象不一定是離散的(比如graph limit theory中會研究一類連續(xù)函數(shù)的拓撲性質(zhì))，我更愿意把組合數(shù)學(xué)稱為具體數(shù)學(xué)(Concrete Math)。

我個人覺得，組合數(shù)學(xué)家里幾乎沒有專門為算法做理論設(shè)計的。算法的理論，一般屬于理論計算機科學(xué)(Theoretical Computer Science)，隸屬于計算機系。

那組合數(shù)學(xué)家在做什么呢？美國數(shù)學(xué)會給組合數(shù)學(xué)分了五類：計數(shù)組合，編碼與設(shè)計理論，圖論，極值組合，代數(shù)組合。我個人認為這個分類已經(jīng)過時了二十年了。我這里說一下我認為組合數(shù)學(xué)里最常見最核心的幾個領(lǐng)域。因為水平所限，肯定會有不全或者錯漏。

結(jié)構(gòu)圖論(Structural graph theory)與圖的染色(Graph coloring)

我沒有把圖論分作一類，因為目前圖論領(lǐng)域里明顯有兩類風格迥異的數(shù)學(xué)家。結(jié)構(gòu)圖論顧名思義，主要研究目標是圖的結(jié)構(gòu)，包括graph minor; graph immersion; topological graph theory; perfect graph等等很多分支。圖的染色就是考慮確定圖的染色數(shù)，或者用染色數(shù)為圖分類。我把這兩個方向放到一起，因為我覺得大部分做其中一個方向的數(shù)學(xué)家也做另外一個方向。

極值組合(Extremal combinatorics)與極值圖論(Extremal graph theory)

極值組合研究的是滿足某種條件下的一種結(jié)構(gòu)的極限情況，極值圖論研究的就是圖了。這個方向也是組合目前最主流也是競爭最激烈的方向之一，包括Turan問題，Ramsey問題等等臭名昭著的難題。

代數(shù)組合(Algebraic combinatorics)

這個方向我了解的不多，因為和我個人taste不是很相符。有的組合學(xué)家不承認代數(shù)組合是組合的分支，因為有些代數(shù)組合的問題來源自抽象數(shù)學(xué)(Abstract Math)，并不是具體數(shù)學(xué)。這里分支也有很多，比如組合交換代數(shù)，組合表示論等等。

算數(shù)組合(Arithmetic combinatorics)

這個領(lǐng)域比較廣，一般認為包括加性組合(Additive Combinatorics)和乘性組合(Multiplicative Combinatorics)。很多我們耳熟能詳?shù)臄?shù)學(xué)家比如陶哲軒，Bourgain等，都在這個領(lǐng)域做了很多貢獻。狹義的說加性組合研究阿貝爾群上的組合結(jié)構(gòu)，乘性組合研究一般群的結(jié)構(gòu)。加性組合研究的問題比如Freiman type theorem；Pseudorandomness等；乘性組合的問題比如Approximate group；growth rate of group等。這個領(lǐng)域的用到的其他分支的數(shù)學(xué)比較多，包括圖論，極值組合，概率，代數(shù)，調(diào)和分析，代數(shù)幾何，離散幾何，邏輯等。

計數(shù)組合(Enumeration combinatorics)與解析組合(Analytic combinatorics)

這里顧名思義就是使用代數(shù)/復(fù)分析等工具來計數(shù)了。注意并不是所有的計數(shù)問題都在這里，比如數(shù)平面圖有多少個就屬于計數(shù)組合問題，但是數(shù)沒有三角形的最大的圖的個數(shù)就屬于極值組合。一般其他的數(shù)學(xué)分支，比如代數(shù)拓撲，常會用到的組合大多是這個分支。

離散幾何(Discrete geometry)

這個領(lǐng)域和算數(shù)組合有點像，使用其他分支的工具也很多。比較著名的問題比如sphere packing；kissing number；equiangular lines等等。其中四維和24維sphere packing問題就是用代數(shù)幾何解決的。這里還包含一個子分支重合幾何(incidence geometry)，主要研究點線面的關(guān)系的幾何，這里面調(diào)和分析與極值組合用的會多一些，也是一個很新很熱門的分支。有的人也會把重合幾何叫代數(shù)組合幾何(Algebraic combinatorial geometry)，因為重合幾何的一個主要研究對象也是多項式或者代數(shù)/半代數(shù)曲線。

編碼理論(Coding theory)與設(shè)計(Design)

我對這個幾乎不了解。但是確實也是組合的一大主流分支。20世紀著名的科克曼女生問題就是這個領(lǐng)域的問題。

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編輯 ∑Pluto

責任編輯：

總結(jié)

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