目錄

寫在前面

1. 簡介

2. 原理

2.1 找出最便宜的節點

2.2 計算前往該節點的各個鄰居的開銷

2.3 重復上面的步驟

實現

總結

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寫在前面

本文原理摘自《算法圖解》這本書。

其實Dijkstra算法是廣度優先搜索基礎上擴展來的。無非是廣度優先搜索按照層次關系，每一層級每一個節點都進行重復操作，直到找到合適的解法，接著進入下一層級。

Dijkstra算法是對每一層級每一個節點找到其符合條件解法，然后進行更新，接著進行下一層級。

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1. 簡介

廣度優先算法可以找出段數最少的路徑，但是對于路徑上帶權重的圖，想要找出最快的路徑，則需要使用狄克斯特拉算法。

2. 原理

為了說明狄克斯特拉算法的原理，使用換鋼琴的的例子來做說明.
假設Rama想拿自己的樂譜換架鋼琴：

Alex說：“這是我最喜歡的樂隊Destroyer的海報，我愿意拿它換你的樂譜。
如果你再加5美元，還可拿樂譜換我這張稀有的Rick Astley黑膠唱片。”
Amy說：“哇，我聽說這張黑膠唱片里有首非常好聽的歌曲，我愿意拿我的吉他或架子鼓換這張海報或黑膠唱片。
Beethoven驚呼：“我一直想要吉他，我愿意拿我的鋼琴換Amy的吉他或架子鼓。”
商品兌換的關系如下：

現在需要確定，Rama如何才能以最少的錢換到他想要的鋼琴。

狄克斯特拉算法解決問題的思路主要包括以下四步：?

找出最便宜的節點，即可用最便宜的價格可前往的節點。
對于該節點的鄰居，檢查是否有前往它們的更短路徑，如果有，就更新其開銷。
重復這個過程，直到對圖中的每個節點都這樣做了。
計算最終路徑
下面結合狄克斯特拉的算法步驟，對該問題進行推算。

2.1 找出最便宜的節點

對于樂譜而言，可以直接兌換唱片和海報，所需的費用分別為5和0.
為了觀察的算法過程中數據的變化情況，使用一個表格來計算兌換的開銷以及父節點的情況，對于目前開銷的未知的節點用無窮大來表示，經過該步驟后，數據的情況如下：

父節點節點成本

樂譜	唱片	5
樂譜	海報	0
–	吉他	∞
–	架子鼓	∞
–	鋼琴	∞

2.2 計算前往該節點的各個鄰居的開銷

通過步驟1的處理，得知從樂譜->海波的開銷是最小的。此時計算從海報到達各鄰居節點的開銷，如果鄰居節點的開銷變少了，則更新其開銷和父節點。最終的結果如下：

父節點節點成本

樂譜	唱片	5
樂譜	海報	0
海報	吉他	30
海報	架子鼓	35
–	鋼琴	∞

2.3 重復上面的步驟

接下來還沒有被遍歷的節點中，最便宜的兌換商品為唱片，此時計算從唱片到達各鄰居節點的開銷，通過計算，從唱片到達吉他只需20,從唱片到達架子鼓只需25,因此需要更新結果表中吉他和架子鼓的父節點以及成本，最終結果如下：

父節點節點成本

樂譜	唱片	5
樂譜	海報	0
唱片	吉他	20
唱片	架子鼓	25
–	鋼琴	∞

接下來最便宜的節點是吉他，從吉他這個路徑走，到鋼琴的價格為40.接z最后是架子鼓，從架子鼓這個路徑走，到鋼琴的價格為35. 于是最終結果如下：

父節點節點成本

樂譜	唱片	5
樂譜	海報	0
唱片	吉他	20
唱片	架子鼓	25
架子鼓	鋼琴	35

通過上述表格反推，花費最小的兌換路徑為：樂譜–>唱片–>架子鼓–>鋼琴，需要花費35.

實現

代碼的實現中，需要維護三個散列表：

graph:用來描述頂點與邊的關系,為了簡單演示，可以直接使用字典的形式表示頂點與邊。
costs:用來記錄途徑頂點的開銷
parents:用來記錄各頂點的父頂點情況
python代碼如下：

# -*- coding:utf-8 -*- # @Author：sunaihua ''' 使用Dijkstra算法得到帶權圖的最短路徑 '''#graph 結構 graph={} graph["start"] = {} graph["start"]["a"] = 6 graph["start"]["b"] = 2 graph["a"] = {} graph["a"]["fin"] = 1 graph["b"] = {} graph["b"]["a"] = 3 graph["b"]["fin"] = 5 graph["fin"] = {}# 成本數據 infinity = float("inf") costs = {} costs["a"] = 6 costs["b"] = 2 costs["fin"] = infinity # parent數據 parents = {} parents["a"] = "start" parents["b"] = "start" parents["fin"] = None # 已經處理過的節點 processed = []def find_lowest_cost_node(costs):lowest_cost = float("inf")lowest_cost_node = Nonefor node in costs:cost = costs[node]if cost < lowest_cost and node not in processed:lowest_cost = costlowest_cost_node = nodereturn lowest_cost_nodedef dijkstra():node = find_lowest_cost_node(costs)while node is not None:cost = costs[node]neighbors = graph[node]for n in neighbors.keys():new_cost = cost + neighbors[n]if costs[n] > new_cost:costs[n] = new_costparents[n] = nodeprocessed.append(node)node = find_lowest_cost_node(costs)# 更具parents中的fin，向前反推，就可以得到最終的路徑print parentsif __name__ == '__main__':dijkstra()

總結

廣度優先搜索用于在非加權圖中查找最短路徑。

狄克斯特拉算法用于在加權圖中查找最短路徑。

僅當權重為正時狄克斯特拉算法才管用。

如果圖中包含負權邊，請使用貝爾曼-福德算法。

關于最短路徑求解：

最短路徑的常用解法有迪杰克斯特拉算法Dijkstra Algorithm, 弗洛伊德算法Floyd-Warshall Algorithm, 和貝爾曼福特算法Bellman-Ford Algorithm，其中，Floyd算法是多源最短路徑，即求任意點到任意點到最短路徑，而Dijkstra算法和Bellman-Ford算法是單源最短路徑，即單個點到任意點到最短路徑。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的狄克斯特拉（Dijkstra）算法原理详细解释与实现(python)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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