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编程问答

最优频带分配方案

發(fā)布時(shí)間：2025/3/15 编程问答 40 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了最优频带分配方案小編覺得挺不錯(cuò)的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個(gè)參考.

最優(yōu)頻帶分配問題

設(shè)兩個(gè)發(fā)送器分別具有 $P_1$ ， $P_2$ 的功率，分別使用兩個(gè)不相交的頻帶帶寬 $W_1$ ， $W_2$ ,，其中 $W_1+W_2=W$ （總帶寬），試計(jì)算最優(yōu)頻帶分配方案，并畫出該信道的容量區(qū)域，進(jìn)一步討論頻分多址（frequency-division multiplexing）系統(tǒng)的最優(yōu)頻帶分配方案。

![在這里插入圖片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/20190630195240279.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MTYwODMyOA==,size_16,color_FFFFFF,t_70)

最優(yōu)頻帶分配問題解決方案

利用單用戶的帶寬有限信道的容量公式，下面的碼率是可達(dá)的。
$R1≤W1log?(1+P1NW1)                        (1)R2≤W2log?(1+P2NW2)                       (2)\begin{array}{l} {R_1} \le {W_1}\log (1 + \frac{{{P_1}}}{{N{W_1}}})\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)\\ {R_2} \le {W_2}\log (1 + \frac{{{P_2}}}{{N{W_2}}})\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)\\ \end{array}$
滿足條件
$W1+W2=W=constP1+P2=P=const\begin{array}{l} {W_1} + {W_2} = W = const\\ {P_1} + {P_2} = P = const\\ \end{array}$
則
$R1+R2≤W1log?(1+P1NW1)+W2log?(1+P2NW2)            (?){R_1}{\rm{ + }}{R_2} \le {W_1}\log (1 + \frac{{{P_1}}}{{N{W_1}}}) + {W_2}\log (1 + \frac{{{P_2}}}{{N{W_2}}})\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(*)$
下面證明上面（*）式右邊的碼率可達(dá)，并給出等號成立的條件。
首先從物理直觀上來看，由于 $R_1$ 和 $R_2$ 分別滿足（1）式和（2）式，這兩個(gè)不等式的右邊分別是它們的理論可達(dá)碼率，因此它們的加和一定小于各自的理論可達(dá)碼率的加和。

但是，這只是直觀上比較粗糙的理解，那么更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膯栴}在于： $R_1$ 和 $R_2$ 的理論可達(dá)碼率是不是就是各自的理論可達(dá)碼率的加和呢？換句話說，它們的最大值能不能同時(shí)取到？如果可以，那么什么時(shí)候同時(shí)取到，等號成立的條件是什么？

畫出信道容量區(qū)域示意圖，大致的趨勢是實(shí)際的信道容量（曲線部分）小于等于理論最大值（折線部分），與橫坐標(biāo)的交點(diǎn)表示信道的全部功率用來傳輸用戶1的信息（ $R_{2}=0$ ），與縱坐標(biāo)的交點(diǎn)表示信道的全部功率用來傳輸用戶2的信息（ $R_1=0$ ），在這兩個(gè)點(diǎn)處顯然曲線部分與折線部分的取值相等。
命題轉(zhuǎn)化為證明：當(dāng) $R_1$ >0且 $R_2$ >0時(shí)，實(shí)際的信道容量（曲線部分）與理論最大值（折線部分）有且只有一個(gè)交點(diǎn)，且該交點(diǎn)對應(yīng)的頻帶分配方案為
$W1=P1P1+P2W,W2=P2P1+P2W          (4){W_1} = \frac{{{P_1}}}{{{P_1} + {P_2}}}W,{W_2} = \frac{{{P_2}}}{{{P_1} + {P_2}}}W\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4)$
首先證明存在性，即：當(dāng) $R_1$ 和 $R_2$ 滿足（4）式時(shí)，（3）式等號成立。
$R1max?=W1log?(1+P1NW1)=P1P1+P2Wlog?(1+P1NP1P1+P2W)=P1P1+P2Wlog?(1+P1+P2NW)R2max?=W2log?(1+P2NW2)=P2P1+P2Wlog?(1+P2NP2P1+P2W)=P2P1+P2Wlog?(1+P1+P2NW)(R1+R2)max?=R1max?+R2max?=Wlog?(1+P1+P2NW)\begin{array}{l} {R_{1\max }} = {W_1}\log (1 + \frac{{{P_1}}}{{N{W_1}}}) = \frac{{{P_1}}}{{{P_1} + {P_2}}}W\log (1 + \frac{{{P_1}}}{{N\frac{{{P_1}}}{{{P_1} + {P_2}}}W}}) = \frac{{{P_1}}}{{{P_1} + {P_2}}}W\log (1 + \frac{{{P_1} + {P_2}}}{{NW}})\\ {R_{2\max }} = {W_2}\log (1 + \frac{{{P_2}}}{{N{W_2}}}) = \frac{{{P_2}}}{{{P_1} + {P_2}}}W\log (1 + \frac{{{P_2}}}{{N\frac{{{P_2}}}{{{P_1} + {P_2}}}W}}) = \frac{{{P_2}}}{{{P_1} + {P_2}}}W\log (1 + \frac{{{P_1} + {P_2}}}{{NW}})\\ {({R_1} + {R_2})_{\max }} = {R_{1\max }} + {R_{2\max }} = W\log (1 + \frac{{{P_1} + {P_2}}}{{NW}})\\ \end{array}$
再證明唯一性，即：實(shí)際的信道容量（曲線部分）與理論最大值（折線部分）有交點(diǎn)，而且只能有一個(gè)。
觀察碼率表達(dá)式
$R1≤W1log?(1+P1NW1)R2≤W2log?(1+P2NW2)\begin{array}{l} {R_1} \le {W_1}\log (1 + \frac{{{P_1}}}{{N{W_1}}})\\ {R_2} \le {W_2}\log (1 + \frac{{{P_2}}}{{N{W_2}}})\\ \end{array}$
$R_1+R_2$ 的理論最大值可以寫成
$R1+R2≤W1log?(1+P1NW1)+(W?W1)log?(1+P?P1N(W?W1)){R_1}{\rm{ + }}{R_2} \le {W_1}\log (1 + \frac{{{P_1}}}{{N{W_1}}}) + (W - {W_1})\log (1 + \frac{{P - {P_1}}}{{N(W - {W_1})}})$
實(shí)際上，不等式右邊的理論可達(dá)碼率為凹函數(shù)，證明如下：
$設(shè)PiN=ki>0,構(gòu)造f(xi)=xilog?(1+kixi)f′(xi)=log?(1+kixi)+xi?(?kixi2)11+kixi=log?(1+kixi)?kixi+kif′′(xi)=11+kixi?(?kixi2)+ki(xi+ki)2=ki(1xi2+kixi+kixi+ki2?1xi2+kixi)<0∴f(x)為凹函數(shù)。\begin{array}{l} 設(shè)\frac{{{P_i}}}{N} = {k_i} > 0,構(gòu)造f({x_i}) = {x_i}\log (1 + \frac{{{k_i}}}{{{x_i}}})\\ f'({x_i}) = \log (1 + \frac{{{k_i}}}{{{x_i}}}) + {x_i} \cdot ( - \frac{{{k_i}}}{{{x_i}^2}})\frac{1}{{1 + \frac{{{k_i}}}{{{x_i}}}}} = \log (1 + \frac{{{k_i}}}{{{x_i}}}) - \frac{{{k_i}}}{{{x_i} + {k_i}}}\\ f''({x_i}) = \frac{1}{{1 + \frac{{{k_i}}}{{{x_i}}}}} \cdot ( - \frac{{{k_i}}}{{{x_i}^2}}) + \frac{{{k_i}}}{{{{({x_i} + {k_i})}^2}}} = {k_i}(\frac{1}{{{x_i}^2 + {k_i}{x_i} + {k_i}{x_i} + {k_i}^2}} - \frac{1}{{{x_i}^2 + {k_i}{x_i}}}) < 0\\ \therefore f\left( x \right)為凹函數(shù)。 \end{array}$
$令g(x)=(x0?x)log(1+kix0?x),其中0<x<x0g′(x)=?log(1+kix0?x)+(x0?x)11+kix0?x?ki(x0?x)2       =?log(1+kix0?x)+kix0?x+kig′′(x)=?ki(x0?x)2?11+kix0?x+ki(x0?x+ki)2         =ki[?1(x0?x)2+ki(x0?x)+1(x0?x+ki)2]         =ki?(x0?x+ki)2+(x0?x)2+ki(x0?x)[(x0?x)2+ki(x0?x)](x0?x+ki)2         =?ki2ki+(x0?x)[(x0?x)2+ki(x0?x)](x0?x+ki)2<0因此g(x)=(x0?x)log(1+kix0?x)仍為凹函數(shù)。\begin{array}{l} 令g(x) = ({x_0} - x)log(1 + \frac{{{k_i}}}{{{x_0} - x}}),其中0 < x < {x_0}\\ g'(x) = - log(1 + \frac{{{k_i}}}{{{x_0} - x}}) + ({x_0} - x)\frac{1}{{1 + \frac{{{k_i}}}{{{x_0} - x}}}} \cdot \frac{{{k_i}}}{{{{({x_0} - x)}^2}}}\\ \;\;\;\;\;\;\; = - log(1 + \frac{{{k_i}}}{{{x_0} - x}}) + \frac{{{k_i}}}{{{x_0} - x + {k_i}}}\\ g''(x) = - \frac{{{k_i}}}{{{{({x_0} - x)}^2}}} \cdot \frac{1}{{1 + \frac{{{k_i}}}{{{x_0} - x}}}} + \frac{{{k_i}}}{{{{({x_0} - x + {k_i})}^2}}}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\; = {k_i}[ - \frac{1}{{{{({x_0} - x)}^2} + {k_i}({x_0} - x)}} + \frac{1}{{{{({x_0} - x + {k_i})}^2}}}]\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\; = {k_i}\frac{{ - {{({x_0} - x + {k_i})}^2} + {{({x_0} - x)}^2} + {k_i}({x_0} - x)}}{{[{{({x_0} - x)}^2} + {k_i}({x_0} - x)]{{({x_0} - x + {k_i})}^2}}}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\; = - {k_i}^2\frac{{{k_i} + ({x_0} - x)}}{{[{{({x_0} - x)}^2} + {k_i}({x_0} - x)]{{({x_0} - x + {k_i})}^2}}} < 0\\ 因此g(x) = ({x_0} - x)log(1 + \frac{{{k_i}}}{{{x_0} - x}})仍為凹函數(shù)。 \end{array}$
凹函數(shù)滿足
$f[λx1+(1?λ)x2]≥λf(x1)+(1?λ)f(x2),?x1,x2∈I,0≤λ≤1f[\lambda {x_1} + (1 - \lambda ){x_2}] \ge \lambda f({x_1}) + (1 - \lambda )f({x_2}),\forall {x_1},{x_2} \in I,0 \le \lambda \le 1$
$g[μx1+(1?μ)x2]≥μg(x1)+(1?μ)g(x2),?x1,x2∈I,0≤μ≤1g[\mu {x_1} + (1 - \mu ){x_2}] \ge \mu g({x_1}) + (1 - \mu )g({x_2}),\forall {x_1},{x_2} \in I,0 \le \mu \le 1$
由凹函數(shù)圖像特點(diǎn)可知實(shí)際的信道容量（曲線部分）與理論最大值（折線部分）有交點(diǎn)，而且只能有一個(gè)，唯一性得證。
由上述的推導(dǎo)可以得出結(jié)論：對于若干個(gè)電臺，只有當(dāng)所有分配的帶寬與對應(yīng)的功率成正比時(shí)，對應(yīng)的頻帶分配方案是最優(yōu)的。某子信道對應(yīng)的功率越大，那么它分到的帶寬也越大，便于傳輸更多的信息。
對于FDMA系統(tǒng)，可以得出類似的結(jié)論。前面構(gòu)造的 $f(x_i)$ 可以推廣到n維，對應(yīng)頻分多址的路數(shù)。
一般地，可以推廣為：對于m個(gè)具有功率為 $P_1,P_2,P_3,...,P_m$ 的信源以及功率N的環(huán)境噪聲的高斯多接入系統(tǒng)，任何集合S對高斯公式平移為下列形式：
$∑i∈SRi=S≤C(∑i∈SPiN)\sum\limits_{i \in S} {{R_i} = S} \le C(\frac{{\sum\limits_{i \in S} {{P_i}} }}{N})$

總結(jié)

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