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??????? 離散傅里葉變換(DFT)的輸入是一組離散的值，輸出同樣是一組離散的值。在輸入信號而言，相鄰兩個采樣點的間隔為采樣時間Ts。在輸出信號而言，相鄰兩個采樣點的間隔為頻率分辨率fs/N，其中fs為采樣頻率，其大小等于1/Ts，N為輸入信號的采樣點數。這也就是說，DFT的頻域分辨率不僅與采樣頻率有關，也與信號的采樣點數有關。那么，如果保持輸入信號長度不變，但卻對輸入信號進行補零，增加DFT的點數，此時的分辨率是變還是不變？

?????? 答案是此時分辨率不變。從時域來看，假定要把頻率相差很小的兩個信號區分開來，直觀上理解，至少要保證兩個信號在時域上相差一個完整的周期，也即是相位相差2*pi。舉個例子，假定采樣頻率為1Hz，要將周期為10s的正弦信號和周期為11s的正弦信號區分開來，那么信號至少要持續110s，兩個信號才能相差一個周期，此時周期為10s的那個信號經歷的周期數為11，而11s的那個信號經歷的周期書為10。轉化到頻域，這種情況下，時域采樣點為110，分辨率為1/110=0.00909，恰好等于兩個信號頻率只差（1/10-1/11）。如果兩個信號在時域上不滿足“相差一個完整周期“的話，補零同樣也不能滿足“相差一個完整周期”，即分辨率不發生變化。另外，從信息論的角度，也很好理解，對輸入信號補零并沒有增加輸入信號的信息，因此分辨率不會發生變化。

?????? 那么，補零到底會帶來什么樣的影響呢？因為DFT可以看做是對DTFT的采樣，補零僅是減小了頻域采樣的間隔。這樣有利于克服由于柵欄效應帶來的有些頻譜泄露的問題。也就是說，補零可以使信號能在頻域被更細致地觀察。如果不滿足上述“至少相差一個完整周期”的要求，即便是如DTFT一般在頻域連續，也無法分辨出兩個信號。

?????? 那么，影響DFT分辨率最本質的物理機制是什么呢？在于DFT的積累時間，分辨率為積累時間T的倒數。這點從數學公式上可以很容易得到：

????????????????????????? fs/N=1/（N*Ts）=1/T

??????? 舉個例子說，如果輸入信號的時長為10s，那么無論采樣頻率為多少，當然前提是要滿足奈奎斯特定理，其分辨率為1/10=0.1Hz。

總結

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