昨晚睡覺前刷手機,看到一道傻子坐飛機的題目,是一道概率的題目.想了一下覺得還挺有意思的,寫一個比較容易理解的解題方法.首先描述一下問題.

傻子坐飛機:假設有n個人(編號分別為從1,2,3…,n-1,n)要上飛機坐在n個座位上,飛機上的n個座位也有相應的編號1,2,3,…,n-1,n,假設每個人的座位選擇規則為:

第一個人是個傻子,他上了飛機后會從n個座位中隨機選擇一個坐下.

除了第一個傻子以外,其余每個人上了飛機后,
2.1 如果他的座位沒有被其他人占領,那么他一定要坐在自己的位置上.
2.2 如果他的座位已經被其他人占領了,那么他就在剩余沒有被占領的座位上隨機選擇一個位置坐下.

那么在這樣的選座位規則下,最后一個上飛機的人,他能坐在自己位置上的概率是p多少?

由于這n個人除了第一個傻子以外,其余的n-1個人是不同的且每個人都有一個相應的座位,所以他登機的順序沒有關系.那么不妨假設登機的順序為第1號,第2號,…,第n號.我們記$p(n)$為總人數為n時的概率,為了便于理解,我們先來看簡單的情況.

n=1時,顯然這個人一定可以坐在自己的位置上,即$p(1)=1$.
n=2時,

如果第1個人坐在自己的位置上,那么最后一個人(也就是第2個人)也可以坐在自己的位置上;

如果第1個人沒有坐在自己的位置(位置1)上,那么最后一個人也不能坐在自己的位置上（位置2）了.

即$p(2)=\frac{1}{2}?1+\frac{1}{2}?0=\frac{1}{2}$

n=3時,

如果第1個人坐在了自己的位置上,那么最后一個人也一定會坐在自己的位置上.

如果第1個人坐在了第2個位置上,那么剩余的2個人的座位選擇相當于n=2時的情況.

如果第1個人坐在了第3個位置上,那么最后一個人肯定無法坐在自己的位置上.

即$p(2)=\frac{1}{3}?1+\frac{1}{3}?p(2)+\frac{1}{3}?0=\frac{1}{2}$

相信大家已經看出了規律,很自然的推廣到n個人的情況.一般的,對于n個人上飛機(n>=2),這個過程為:

如果第1個人坐在了自己的位置上,那么最后一個人也一定會坐在自己的位置上.對應的概率為$p(n{)}_1=\frac{1}{n}$

2.如果第1個人坐在了第2個位置上，那么可以將第1個人和第2個位置都刪掉。

刪除后，把第1個位置看做是第2個人對應的新位置，對于第2個人,由于他的座位被傻子占掉了,所以他只能從剩下的沒有被占用的座位里隨機選擇一個,這種行為和問題定義中的傻子的行為是一樣的,所以可以把第2個人看做是新的傻子.此時問題轉換成了n-1個人上飛機的問題，對應的概率為$p(n{)}_2=\frac{1}{n}?p(n?1)$。

3.一般的，假設第1個人選到了第m個位置，對于第2、3、…、m-1個人，他們都可以去選擇對應的第2、3、…、m-1的座位，所以這些人和相應的座位都可以被刪掉。將第1個位置看做是第m個人對應的新位置，并將第m個人看做新的傻子，問題轉化為m個人上飛機，對應的概率為$p(n{)}_m=\frac{1}{n}?p(m)$.

把所有情況歸納起來得到，
$p(n)=\frac{1}{n}?1+\frac{1}{n}?p(2)+\frac{1}{n}?p(3)+...+\frac{1}{n}?p(n?2)+\frac{1}{n}?p(n?1)=\frac{1}{n}(p(1)+p(2)+...+p(n?1))$.
即:$p(n)=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^{n?1}p(i)$

我們得到了數列$p(n)$的遞推公式,下面來計算一下$p(n)$的通項公式.稍微寫兩行就能得到結論了,對于$n\ge 2$(n>=2,因為只有這樣才能寫出前一項n-1對應的概率值,是不是想起了高中做數列題的邊界情況,沒錯這個問題其實就是一道親切的數列題),有
$p(n)=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^{n?1}p(i)$
$p(n?1)=\frac{1}{n?1}{\sum }_{i=1}^{n?2}p(i)$
將下式代入上式,得到
$p(n)=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^{n?1}p(i)=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^{n?2}p(i)+\frac{1}{n}?p(n?1)=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^{n?2}p(i)+\frac{1}{n}?\frac{1}{n?1}{\sum }_{i=1}^{n?2}p(i)=(\frac{1}{n(n?1)}+\frac{1}{n}){\sum }_{i=1}^{n?2}p(i)$
這里用一下裂項,$\frac{1}{n(n?1)}+\frac{1}{n}=\frac{1}{n?1}?\frac{1}{n}+\frac{1}{n}=\frac{1}{n?1}$,則有,
$p(n)=(\frac{1}{n(n?1)}+\frac{1}{n}){\sum }_{i=1}^{n?2}p(i)=\frac{1}{n?1}{\sum }_{i=1}^{n?2}p(i)$
于是可以不停的代入不停的裂項,有
$p(n)=\frac{1}{n?1}{\sum }_{i=1}^{n?2}p(i)=\frac{1}{n?2}{\sum }_{i=1}^{n?3}p(i)=...=\frac{1}{2}p(1)=\frac{1}{2},n\ge 2$

于是得到$p(n)$的通項公式為,
$p(n)=?\begin{array}{r}1,n=1\\ \frac{1}{2},n\ge 2\end{array}$
這是一個挺有意思的題目,當只有一個人時候,概率顯然為1,當人數大于1時,結果始終為1/2,和人數n沒有關系.
看到這個結論讓我不禁對上述求解過程有了質疑,上述的求解過程又是一種"僵硬"的方法,所謂僵硬是指完全拿遞推公式硬算出來的,應該是有一種更優雅的思路,能夠直接得出結果為常數.暫時還沒有想出來,等我想明白的時候再來更新吧.

總結

以上是生活随笔為你收集整理的傻子坐飞机问题的求解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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