二分法采用五五分平均復(fù)雜度最小（相比四六分或三七分等）的定量證明方法

??有一天晚上我深夜失眠，躺在床上輾轉(zhuǎn)反側(cè)，無(wú)法入睡。在床上滾來(lái)滾去，覺(jué)得十分無(wú)聊，不知怎么的想起了二分法。這是我們解決數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)或算法問(wèn)題中常用的一種divide and conquer的分治手段。但是二分法中的這個(gè)二，說(shuō)的是把一個(gè)問(wèn)題分解成兩個(gè)子問(wèn)題遞歸求解，并沒(méi)有說(shuō)明兩個(gè)子問(wèn)題要平均分。那么為什么通常大家都會(huì)進(jìn)行平均的五五分配呢，應(yīng)該是需要一個(gè)合適的理由的。
??于是我在黑暗中瞪著眼睛開(kāi)始想，好像想出了一個(gè)比較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明方法，po出來(lái)和廣大網(wǎng)（噴）友（子）一起討論，看看是不是有什么不合適的地方需要修改。首先給出結(jié)論：二分法采用五五分的平均復(fù)雜度是最小的， 下面給出一個(gè)定量的證明。
??假設(shè)我們有一個(gè)規(guī)模為$n$的問(wèn)題，根據(jù)二分的思想，將其分為$\alpha n$和$(1?\alpha )n$兩個(gè)部分，其中$0\le \alpha \le 1$。用復(fù)雜度的期望來(lái)表征這個(gè)二分結(jié)果的平均復(fù)雜度，即：

$\overline{f(n)}=\alpha f(\alpha n)+(1?\alpha )f((1?\alpha )n)=T(\alpha ),0\le \alpha \le 1$

即給定一個(gè)規(guī)模為$n$的問(wèn)題，其平均復(fù)雜度可以表征成為一個(gè)關(guān)于$\alpha$的函數(shù)。對(duì)于這個(gè)函數(shù)，顯然有$T(\alpha )=T(1?\alpha )$，即該函數(shù)是關(guān)于$\alpha =\frac{1}{2}$對(duì)稱的。那么問(wèn)題來(lái)了，這個(gè)函數(shù)為什么在$\alpha =\frac{1}{2}$時(shí)取得全局最小值呢？

??這里為了容易理解我們首先討論另外一個(gè)更簡(jiǎn)單的函數(shù)：$t_1(\alpha )=\alpha f(\alpha n)$，這里面需要注意一下的是這個(gè)$n$在這里是一個(gè)常數(shù)。問(wèn)題的關(guān)鍵就在于這個(gè)$t_1(\alpha )$的凹凸性。有關(guān)于函數(shù)的凹凸性有很多等價(jià)的定義，這里需要注意一下,很多教材或者wiki上對(duì)凹函數(shù)和凸函數(shù)的定義都不同,有的管上彎的叫凹函數(shù)有的叫凸函數(shù),其實(shí)具體叫什么并無(wú)所謂,po一張網(wǎng)上撈來(lái)的圖并以此為下文的凹凸函數(shù)定義。

對(duì)于$t_1(\alpha )=\alpha f(\alpha n)$，其中$n$為常數(shù)。顯然$t_2(\alpha )=t_1(1?\alpha )=(1?\alpha )f((1?\alpha )n)$，即$t_1(\alpha )$與$t_1(\alpha )$是關(guān)于$\alpha =\frac{1}{2}$對(duì)稱的，即這兩個(gè)函數(shù)的凹凸性相同。$T(\alpha )=t_1(\alpha )+t_2(\alpha )$，兩個(gè)凹函數(shù)的和仍然是凹函數(shù)，兩個(gè)凸函數(shù)的和仍然是凸函數(shù)，所以$T(\alpha )$的凹凸性也與$t_1(\alpha )=\alpha f(\alpha n)$的凹凸性相同。

至此，我們得到了兩個(gè)非常重要的結(jié)論：
1. $\overline{f(n)}=T(\alpha )$是關(guān)于$\alpha =\frac{1}{2}$對(duì)稱的。
2. $\overline{f(n)}=T(\alpha )$的凹凸性與$t_1(\alpha )=\alpha f(\alpha n)$相同。
那么如果$\overline{f(n)}=T(\alpha )$分別是凸函數(shù)（1）、凹函數(shù)（3）、非凹非凸（常函數(shù)）（2），他們的圖像分別是什么樣呢？如下所示，再加上對(duì)稱性的條件，很容易得到（用凹凸函數(shù)的定義寫(xiě)一下不等式就行了）：在凸函數(shù)情況下，$\alpha =\frac{1}{2}$取最大值；凹函數(shù)下$\alpha =\frac{1}{2}$取最小值；非凹非凸函數(shù)隨意，任何值處的結(jié)果都相同。

??那么$T(\alpha )$或者說(shuō)$t_1(\alpha )=\alpha f(\alpha n)$在什么時(shí)候是凹函數(shù)，什么時(shí)候是凸函數(shù)呢？對(duì)于一個(gè)規(guī)模為$n$的問(wèn)題，其復(fù)雜度只能是：常數(shù)、$log(n)$或$n^m(m>0)$，當(dāng)：

復(fù)雜度為常數(shù)時(shí)，即$f(\alpha n)=c$，$t_1(\alpha )=\alpha f(\alpha n)$，則$T(\alpha )=t_1(\alpha )+t_2(\alpha )=c+c=2c=constant$，對(duì)應(yīng)于上圖的2情況。

復(fù)雜度為$log(n)$或$n^m(m>0)$時(shí)，$t_1(\alpha )=\alpha f(\alpha n)$為凹函數(shù)（求導(dǎo)很容易得到二階導(dǎo)數(shù)大于0），對(duì)應(yīng)上圖3的情況，此時(shí)在$\alpha =\frac{1}{2}$處取得最小期望復(fù)雜度。

截至目前我還沒(méi)有碰到過(guò)復(fù)雜度隨問(wèn)題規(guī)模單調(diào)遞減的問(wèn)題，最起碼也得是個(gè)常數(shù)復(fù)雜度吧，所以基本可以認(rèn)為這種情況在以實(shí)際問(wèn)題為背景的情況下是不存在的。

而我們實(shí)際遇到的問(wèn)題中，絕大多數(shù)算法或數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)問(wèn)題都屬于以上的第二種種情況（畢竟復(fù)雜度和問(wèn)題規(guī)模無(wú)關(guān)的問(wèn)題我們幾乎不會(huì)單獨(dú)去討論），所以這種前提被默認(rèn)滿足了，因此五五對(duì)分是合理的選擇。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的二分法采用五五分平均复杂度最小（相比四六分或三七分等）的定量证明方法的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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