前言

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主成分分析簡介

主成分分析 (PCA, principal component analysis)是一種數(shù)學(xué)降維方法, 利用正交變換 (orthogonal transformation)把一系列可能線性相關(guān)的變量轉(zhuǎn)換為一組線性不相關(guān)的新變量，也稱為主成分，從而利用新變量在更小的維度下展示數(shù)據(jù)的特征。

主成分是原有變量的線性組合，其數(shù)目不多于原始變量。組合之后，相當(dāng)于我們獲得了一批新的觀測(cè)數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)的含義不同于原有數(shù)據(jù)，但包含了之前數(shù)據(jù)的大部分特征，并且有著較低的維度，便于進(jìn)一步的分析。

在空間上，PCA可以理解為把原始數(shù)據(jù)投射到一個(gè)新的坐標(biāo)系統(tǒng)，第一主成分為第一坐標(biāo)軸，它的含義代表了原始數(shù)據(jù)中多個(gè)變量經(jīng)過某種變換得到的新變量的變化區(qū)間；第二成分為第二坐標(biāo)軸，代表了原始數(shù)據(jù)中多個(gè)變量經(jīng)過某種變換得到的第二個(gè)新變量的變化區(qū)間。這樣我們把利用原始數(shù)據(jù)解釋樣品的差異轉(zhuǎn)變?yōu)槔眯伦兞拷忉寴悠返牟町悺?br />

這種投射方式會(huì)有很多，為了最大限度保留對(duì)原始數(shù)據(jù)的解釋，一般會(huì)用最大方差理論或最小損失理論，使得第一主成分有著最大的方差或變異數(shù) (就是說其能盡量多的解釋原始數(shù)據(jù)的差異)；隨后的每一個(gè)主成分都與前面的主成分正交，且有著僅次于前一主成分的最大方差 (正交簡單的理解就是兩個(gè)主成分空間夾角為90°，兩者之間無線性關(guān)聯(lián)，從而完成去冗余操作)。

主成分分析的意義

簡化運(yùn)算。

在問題研究中，為了全面系統(tǒng)地分析問題，我們通常會(huì)收集眾多的影響因素也就是眾多的變量。這樣會(huì)使得研究更豐富，通常也會(huì)帶來較多的冗余數(shù)據(jù)和復(fù)雜的計(jì)算量。

比如我們我們測(cè)序了100種樣品的基因表達(dá)譜借以通過分子表達(dá)水平的差異對(duì)這100種樣品進(jìn)行分類。在這個(gè)問題中，研究的變量就是不同的基因。每個(gè)基因的表達(dá)都可以在一定程度上反應(yīng)樣品之間的差異，但某些基因之間卻有著調(diào)控、協(xié)同或拮抗的關(guān)系，表現(xiàn)為它們的表達(dá)值存在一些相關(guān)性，這就造成了統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所反映的信息存在一定程度的冗余。另外假如某些基因如持家基因在所有樣本中表達(dá)都一樣，它們對(duì)于解釋樣本的差異也沒有意義。這么多的變量在后續(xù)統(tǒng)計(jì)分析中會(huì)增大運(yùn)算量和計(jì)算復(fù)雜度，應(yīng)用PCA就可以在盡量多的保持變量所包含的信息又能維持盡量少的變量數(shù)目，幫助簡化運(yùn)算和結(jié)果解釋。

去除數(shù)據(jù)噪音。

比如說我們?cè)跇悠返闹苽溥^程中，由于不完全一致的操作，導(dǎo)致樣品的狀態(tài)有細(xì)微的改變，從而造成一些持家基因也發(fā)生了相應(yīng)的變化，但變化幅度遠(yuǎn)小于核心基因 (一般認(rèn)為噪音的方差小于信息的方差）。而PCA在降維的過程中濾去了這些變化幅度較小的噪音變化，增大了數(shù)據(jù)的信噪比。

利用散點(diǎn)圖實(shí)現(xiàn)多維數(shù)據(jù)可視化。

在上面的表達(dá)譜分析中，假如我們有1個(gè)基因，可以在線性層面對(duì)樣本進(jìn)行分類；如果我們有2個(gè)基因，可以在一個(gè)平面對(duì)樣本進(jìn)行分類；如果我們有3個(gè)基因，可以在一個(gè)立體空間對(duì)樣本進(jìn)行分類；如果有更多的基因，比如說n個(gè)，那么每個(gè)樣品就是n維空間的一個(gè)點(diǎn)，則很難在圖形上展示樣品的分類關(guān)系。利用PCA分析，我們可以選取貢獻(xiàn)最大的2個(gè)或3個(gè)主成分作為數(shù)據(jù)代表用以可視化。這比直接選取三個(gè)表達(dá)變化最大的基因更能反映樣品之間的差異。（利用Pearson相關(guān)系數(shù)對(duì)樣品進(jìn)行聚類在樣品數(shù)目比較少時(shí)是一個(gè)解決辦法）

發(fā)現(xiàn)隱性相關(guān)變量。

我們?cè)诤喜⑷哂嘣甲兞康玫街鞒煞诌^程中，會(huì)發(fā)現(xiàn)某些原始變量對(duì)同一主成分有著相似的貢獻(xiàn)，也就是說這些變量之間存在著某種相關(guān)性，為相關(guān)變量。同時(shí)也可以獲得這些變量對(duì)主成分的貢獻(xiàn)程度。對(duì)基因表達(dá)數(shù)據(jù)可以理解為發(fā)現(xiàn)了存在協(xié)同或拮抗關(guān)系的基因。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的一文看懂PCA主成分分析的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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