一、實驗目的

1、掌握連續時間信號離散化的方法（即采樣）,并能利用Matlab編程加以仿真實現;
2、掌握連續時間信號的傅立葉變換和離散時變換的仿真實現方法；
3、學會利用傅里葉變換和離散時間信號的傅立葉變換的方法對連續時間信進行頻譜的分析;
4、掌握連續時間信號經理想采樣后信號的頻譜變化;
5、驗證帶限信號的時域采樣定理，并加深對定理及與其相關的概念、名詞的理解

二、實驗原理

1、連續時間信號的采樣
連續時間信號xa(t)以時間間隔T (即采樣周期)采樣后所得到的離散時間信號可表示為xa(nT),即xa(t)只保留t=nT時的值，這里n只能取整數。從數學觀點而言，時間間隔T對離散時間信號的各采樣點只起間隔大小的作用，對順序無作用，因而xa(nT)還可表示為x(n)。則采樣后所得到的離散時間信號x(n)與其對應的連續時間信號xo (t)的關系可表示為:
x(n)=xa(t)|t=nT
對連續時間信號進行采樣得到離散時間信號的過程，在Matlab中以對e 100進行均勻采樣為例，可用如下代碼來進行實現:

Ts=0.0005;%設置采樣周期 n=-25:1:25; %設置采樣的起始時刻點 x=ex1(1000*abs(n*Ts));%按公式給定的連續時間信號得到離散時間信號xn

2、采樣后信號頻譜的變化
從頻域的角度來看，采樣前后的信號頻譜也是不一樣的，采樣后的信號頻譜Xs(jΩ)是采樣之前的信號頻譜Xa(jΩ)的周期延拓，延拓周期為2π/T。同時，Xs(jΩ)的幅度是Xa(jΩ)的幅度的fs=1/T倍。即:

假定Xa(jΩ)是帶限信號,畫出了上述的關系:

3、時域采樣定理
從頻域的角度分析，并結合圖2.1，要保證信號采樣不丟失信息，則需避免頻譜的混疊失真。那么，在被采樣信號是帶限信號的前提下，對采樣周期了(或采樣頻率f) 就要有一定的要求，這要求即 為時域采樣定理。時域采樣定理也稱為奈奎斯特采樣定理，可描述為:對一個有限帶寬信號進行采樣，如果采樣頓率大于或等于信號最高頻幸兩倍時，得到的采樣信號頻請是原信號頻增無混疊失真的周期延拓，因此可以由采樣后的信號恢復原信號。
4、傅立葉變換的計算機計算方法
信號的頻域分析是信號分析的基本手段之一。對信號進行頻譜分析，從數學上講就是進行傅立葉變換，對于連續時間信號而言，傅立葉變換公式是積分形式，具體如下:

而對于離散時間信號(序列)而言，傅立葉變換公式為求和的形式，具體如下:

不管是連續時間信號還是離散時間信號，頻譜一般都是關于頻率的連續函數，即均為連續譜。在Matlab中，積分一般采用離散化的求和方式進行近似計算，而求和則可借助矩陣乘法進行。因而中的積分和公式(2-4) 中的求和都可以借助矩陣乘法運算進行實現，具體計算及畫圖程序示例如下:
(1)連續時間信號的傅立葉變換

Dt=-0.0005;t=-0.005:Dt:0.005; Xa=exp(-1000*abs(t));%生成連續時間信號 Wmax=2*pi*2000;500;k=0:1:K;W=k*Wmax/K; Xa=xa*exp(-j*t’*W)*Dt%/續時間信號的傅位葉變換 Xa=abs(Xa); W=_flipIr(W),W(2:501)]; Xa=[fliplr(Xa),Xa(2:501)]; plot(W/(2*pi* 1000),Xa* 1000); xlabel(頻率(KHZ) ); ylabel(Xa(jW));

(2)離散時間信號的傅里葉變換

Ts=0.0005;n=-25:1:25; x-exp(-1000* abs(n* Ts)); %對連續時間信號進行理想采樣 K=500;k=0:1 :K;w=pi*k/K; X=x*exp(j*n'*w); %離散時間傅立葉變換 X= abs(X); w=[-fliplIr(w),w(2:K+1)]; X=[flipIr(X),X(2:K+1)]; plot(w/pi,X); xlabel(頻率(rad));ylabel(X1(w));

三、實驗步驟、數據記錄及處理

本實驗以信號的采樣為基礎，借助傅立葉變換進行采樣前后信號的頻譜分析，在此基礎上驗證時域采樣定理。具體的實驗內容和實驗步驟如下:
1、生成連續時間信號x(t)=-1000，繪制其在5ms到+5ms之間的波形，時間軸間隔為0.05ms。
2、編程實現x。(t)的傅立葉變換(即連續時間傅立葉變換)，并繪制其在-2KHz到+2KHz之間的幅度譜圖，頻率軸頻率間隔設置為8Hz。
3、用采樣頻率f, = 5000Hz對x(t)=e-100進行理想采樣，得到采樣后離散時間信號x(n)，繪制出采樣后的信號序列。
4、編程實現采樣后離散時間信號x(n)的傅立葉變換(離散時間傅立葉變換)，并繪制其幅度譜圖。
5、對采樣前后的信號時域圖形和頻譜圖進行分析，總結采樣前后信號頻譜之間的關系。
6、更改采樣頻率為f,=2000Hz和f,=1000Hz重復上述過程，對結果進行分析，并驗證時域采樣定理。

實驗例程：

%連續時間信號生成 Dt=0.00005;t=-0.005:Dt:0.005;xa=exp(-1000*abs(t)); subplot(4,2,1);plot(t*1000,xa);xlabel('時間(毫秒)');ylabel('xa(t)');title('模擬信號'); %連續時間信號傅里葉變換 Wmax=2*pi*2000;K=500;k=0:1:K;W=k*Wmax/K;Xa=xa*exp(-j*t'*W)*Dt;Xa=real(Xa);W=[-fliplr(W),W(2:501)];Xa=[fliplr(Xa),Xa(2:501)]; subplot(4,2,2);plot(W/(2*pi*1000),Xa*1000);xlabel('頻率(KHZ)');ylabel('Xa(jW)');title('連續時間傅里葉變換'); %1000HZ連續時間采樣 fs=1000;Ts=1/fs;n1=-0.005/Ts:1:0.005/Ts;x1=exp(-1000*abs(n1*Ts)); subplot(4,2,3);stem(n1*Ts*1000,x1);ylabel('x1(n)');title('離散信號-fs=1000HZ'); %采樣后傅里葉變換 K=500;k=0:1:K;w=pi*k/K;X1=x1*exp(-j*n1'*w);X1=real(X1);w=[-fliplr(w),w(2:K+1)];X1=[fliplr(X1),X1(2:K+1)]; subplot(4,2,4);plot(w/pi,X1);xlabel('頻率(rad)');ylabel('X1(w)');title('離散傅里葉變換') %2000HZ連續時間采樣 fs=2000;Ts=1/fs;n1=-0.005/Ts:1:0.005/Ts;x1=exp(-1000*abs(n1*Ts)); subplot(4,2,5);stem(n1*Ts*1000,x1);ylabel('x1(n)');title('離散信號-fs=2000HZ'); %采樣后傅里葉變換 K=500;k=0:1:K;w=pi*k/K;X1=x1*exp(-j*n1'*w);X1=real(X1);w=[-fliplr(w),w(2:K+1)];X1=[fliplr(X1),X1(2:K+1)]; subplot(4,2,6);plot(w/pi,X1);xlabel('頻率(rad)');ylabel('X1(w)');title('離散傅里葉變換') %5000HZ連續時間采樣 fs=5000;Ts=1/fs;n1=-0.005/Ts:1:0.005/Ts;x1=exp(-1000*abs(n1*Ts)); subplot(4,2,7);stem(n1*Ts*1000,x1);ylabel('x1(n)');title('離散信號-fs=5000HZ'); %采樣后傅里葉變換 K=500;k=0:1:K;w=pi*k/K;X1=x1*exp(-j*n1'*w);X1=real(X1);w=[-fliplr(w),w(2:K+1)];X1=[fliplr(X1),X1(2:K+1)]; subplot(4,2,8);plot(w/pi,X1);xlabel('頻率(rad)');ylabel('X1(w)');title('離散傅里葉變換')

四、分析

采樣信號的頻譜是原連續時間信號的頻譜的周期性的復制（當然要保證采樣滿足奈奎斯特定理）。若采樣周期為F，則采樣后信號的頻譜變成周期的了，周期為F，幅值變為原來的F倍，一個周期的形狀和連續信號時的頻譜一樣。那么采樣后離散信號的頻譜應該[在滿足采樣定理]能反映出，原模擬信號的頻譜，否則采樣是沒有意義的。采樣后頻譜是，原頻譜的周期延拓，實際中需要將原來的高于有用頻率的分量盡量濾除，增大采樣頻率來減少頻譜的混疊。頻帶為F的連續信號f(t)可用一系列離散的采樣值f(t1),f(t1±Δt)，f(t1±2Δt)，…來表示,只要這些采樣點的時間間隔Δt≤1/(2F)，便可根據各采樣值完全恢復原來的信號f(t)。 這是時域采樣定理的一種表述方式。時域采樣定理的另一種表述方式是：當時間信號函數f(t)的最高頻率分量為fM時,f(t)的值可由一系列采樣間隔小于或等于1/(2fM)的采樣值來確定,即采樣點的重復頻率f≥(2fM)。圖為模擬信號和采樣樣本的示意圖。時域采樣定理是采樣誤差理論、隨機變量采樣理論和多變量采樣理論的基礎。

五、思考題

(1)在滿足采樣定理的前提下，數字頻率和模擬頻率之間的關系是什么?

(2)采樣頻率不同時，相應理想采樣序列的傅立葉變換頻譜的數字頻率度量是否都相同?他們所對應的模擬頻率是否相同，為什么?

(3)結合實驗結果和時域采樣定理，分析數字信號處理系統中抗混疊干擾濾波的相關概念及其重要作用。

六、總結

通過對比不同采樣頻率下的信號恢復圖，我們不難看到，當采樣頻率不滿足采樣定理的要求時，得到的頻譜圖出現了嚴重的失真，而當采樣頻率滿足大于信號最高截止頻率的2倍時，得到的頻譜即是原連續信號頻譜的周期延拓，這個實驗結果，驗證了信號采樣定理的正確性，且采樣頻率越高，信號恢復后的圖形以及頻譜圖越接近原信號。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的连续时间采样及采样定理——MATLAB的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。