一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/h2>

1、掌握有限長(zhǎng)序列線性卷積的編程計(jì)算原理，并能夠利用Matlab或C語(yǔ)言編寫(xiě)算法程序進(jìn)行線性卷積運(yùn)算的程序?qū)崿F(xiàn);
2、學(xué)會(huì)線性卷積函數(shù)和線性相關(guān)函數(shù)的使用方法，并能利用二者進(jìn)行有限長(zhǎng)序列的線性卷積與線性相關(guān)運(yùn)算的實(shí)現(xiàn);自相關(guān)序列的基本性質(zhì);
4、驗(yàn)證線性卷積運(yùn)算和線性相關(guān)運(yùn)算之間的關(guān)系,掌握由線性卷積運(yùn)算實(shí)現(xiàn)線性相關(guān)運(yùn)算的方法;
5、學(xué)會(huì)利用自相關(guān)序列進(jìn)行信號(hào)周期性的檢測(cè)與判別。

二、實(shí)驗(yàn)原理

在數(shù)字信號(hào)處理中，相關(guān)(correlation)可以分為互相關(guān)(cross correlation)和自相關(guān)(auto-correlation). 互相關(guān)是兩個(gè)數(shù)字序列之間的運(yùn)算；自相關(guān)是單個(gè)數(shù)字序列本身的運(yùn)算，可以看成是兩個(gè)相同數(shù)字序列的互相關(guān)運(yùn)算．互相關(guān)用來(lái)度量一個(gè)數(shù)字序列移位后，與另一個(gè)數(shù)字序列的相似程度．其數(shù)學(xué)公式如下：

其中，f和g為數(shù)字序列，n為移位的位數(shù)，f*表示f序列值的復(fù)數(shù)共軛，即復(fù)數(shù)的實(shí)部不變，虛部取反而卷積（convolution）與互相關(guān)運(yùn)算相似，定義為將其中一個(gè)序列反轉(zhuǎn)并移位后，兩個(gè)序列的乘積的積分（求和），其數(shù)學(xué)公式如下：

其中，f和g 為數(shù)字序列，n 為移位的位數(shù).
在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，f的復(fù)數(shù)共軛f*=f．此時(shí)，通過(guò)比較上面兩式可知：序列f與將序列g(shù)反轉(zhuǎn)后的序列的卷積為序列f與序列g(shù)的互相關(guān)
如下所示:
第一步:確定(n) 有限區(qū)間為[N1+N2,M1+M2], 這一步的的工作是為了決定y(n) 中的哪些序列值要計(jì)算,因?yàn)閰^(qū)間外的序列值都是0，無(wú)須計(jì)算
第二步:把x(n)和h(n)的有限區(qū)間都變?yōu)閺?開(kāi)始。
第三步:利用公式計(jì)算序列值。計(jì)算y(n)的n=0,1,2,…M1+M2 -N1- N2，所對(duì)應(yīng)的y(0),y(1),…,y(M1+ M2 - N1+N2)。求每一個(gè)序列值時(shí),乘加運(yùn)算的結(jié)束標(biāo)志是h(n-k)的n-k
第四步:把y(n)的序號(hào)由0開(kāi)始變?yōu)橛蒒1+N2開(kāi)始,其它序號(hào)依次變?yōu)镹1＋M2為止,就是N2＋1，N1＋N2+2,直到M1+真正的輸出序列y(n)。
2、線性相關(guān)運(yùn)算及計(jì)算方法
設(shè)序列x(n)利y(n)為兩個(gè)能量有限的離散時(shí)間信號(hào)，則序列之間的線性互相關(guān)序列（運(yùn)算)
Rxy(m)反映了序列x(n)與右移m個(gè)單位的序列y(n)之間的相似程度，某一m處Rxy(m)的絕對(duì)值越大,則此時(shí)二者之間的相似性就越強(qiáng)。
序列的線性相關(guān)運(yùn)算和線性卷積運(yùn)算之關(guān)系:
Rxy(m)= y(m)x(-m)
表明:序列的相關(guān)運(yùn)算可以序列的線性卷積運(yùn)算為基礎(chǔ)進(jìn)行實(shí)現(xiàn)。
(1）若序列x(n)是實(shí)序列，則R.(m)為偶函數(shù)，即:
Rxy(m)=Rxy(-m)
(2）Rxx(m)在=0時(shí)取得最大值，即:
Rxx(0)≥Rxx(m)
(3）若x(n)是能量信號(hào)，則有:
lim(x?∞) Rxx(m)=0
3、利用自相關(guān)序列講行信號(hào)周期性的檢測(cè)
原序列具有相同的周期。這一性質(zhì)是實(shí)際應(yīng)用中, 利用自相關(guān)運(yùn)算進(jìn)行信號(hào)周期性檢測(cè)的基礎(chǔ)和理論依據(jù)。

三、實(shí)驗(yàn)步驟、數(shù)據(jù)記錄及處理

本實(shí)驗(yàn)主要進(jìn)行離散時(shí)間信號(hào)的線性卷積運(yùn)算和線性相關(guān)運(yùn)算的程序?qū)崿F(xiàn)，實(shí)驗(yàn)內(nèi)容和具體的實(shí)驗(yàn)步驟如下:
其中:
1、用Matlab生成兩個(gè)有限長(zhǎng)序列x(n)、y(n)

2、編寫(xiě)有限長(zhǎng)序列線性卷積算法程序計(jì)算x(n)與y(n)的線性卷積，結(jié)果令為cl(n)，即c1(n)=x(n)*y(n);利用 Matlab 的 conv()函數(shù)計(jì)算x(n)與y(n)的線性卷積，結(jié)果令為 c2(n)，即c2(n)=x(n)*y(n)。將x(n)、y(n)、cl(n)、c2(n)的序列圖形繪制在一幅圖上，對(duì)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，檢驗(yàn)所實(shí)現(xiàn)的線性卷積算法仿真程序是否正確。
3、以 conv()函數(shù)為基礎(chǔ)，編程計(jì)算x(n)與vn)的卷積線性互相關(guān)序列，結(jié)果令為R1(n):利用 matlab的xcorr()函數(shù)計(jì)算x(n)與y(n)的線性互相關(guān)序列結(jié)果令為R2(n)。將x(n)、y(n)、R1(n)、R2(n)繪制在一幅圖上,對(duì)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，驗(yàn)線性卷積運(yùn)算和線性相關(guān)運(yùn)算之間的關(guān)系。
4、以下為1970年至1869年這100年間每年所記錄到的太陽(yáng)黑子出現(xiàn)的月平均次數(shù):
101，82，66，35，31，7，20，92，154，125，85，68，38，23,
10，24，83，132，131，118，90，67，60，47，41,21,16，6, 8，
42，28，10，8，2，0，1,5，12，4，7,14，34、45，43，416 , 7,
4，2，8，17，36,50,62,14,35，46，41，30，24,37，24, 67，71，
48，28，8，13，57，122,138,103，86，63，96，66，64, 54，39，
21,7，4,23,11，15，40，62，98，124,47，30，16，7，37,74，55，
94, 96，77，59，44,
然后將該組數(shù)據(jù)去除掉均值計(jì)算該組數(shù)據(jù)的均值，然后將該組數(shù)據(jù)去除掉均值后做自相關(guān)分析,繪制出自相關(guān)序列的圖形,并以計(jì)算結(jié)果為依據(jù)確定太陽(yáng)黑子活動(dòng)的周期。
實(shí)驗(yàn)代碼：
(1)

clc;clear all; x=[1,1,1];N1=1;M1=3;nx=N1:M1; h=[2,2,2];N2=0;M2=2;nh=N2:M2; %生成做卷積的兩個(gè)有限長(zhǎng)序列 ny=N1+N2:M1+M2;%確定卷積結(jié)果序列非零值區(qū)間 nx1=0:M1-N1;nh1=0:M2-N2;%把做卷積得兩個(gè)序列取非零值得區(qū)間都變?yōu)閺?開(kāi)始 for n=0:M1+M2-N1-N2y(n+1)=0;for k=0:M1-N1m=n-k;if(m>=0&m<=M2-N2)y(n+1)=y(n+1)+x(k+1)*h(m+1);endend end %二層循環(huán)進(jìn)行乘加運(yùn)算，完成卷積運(yùn)算 c1= y; c2=conv(x,h);%將x與h進(jìn)行卷積運(yùn)算 subplot(4,1,1);stem(nx,x,'x');xlabel('n');ylabel('x(n)');grid on; subplot(4,1,2);stem(nh,h,'o');xlabel('n');ylabel('y(n)');grid on; subplot(4,1,3);stem(ny,c1,'*');xlabel('n');ylabel('c1(n)');grid on; subplot(4,1,4);stem(ny,c2,'.');xlabel('n');ylabel('c2(n)');grid on;

clc;clear all; x=[1,1,1];N1=1;M1=3;nx=N1:M1; h=[2,2,2];N2=0;M2=2;nh=N2:M2;z=fliplr(h);R1=conv(x,z);len_R1=length(R1); R2=xcorr(x,h);len_R2=length(R2); subplot(2,1,1);stem(1:len_R1,R1,'x');axis([0,len_R2+1,0,max(R1)+1]);xlabel('n');ylabel('R1(n)');grid on; subplot(2,1,2);stem(1:len_R2,R2,'o');axis([0,len_R2+1,0,max(R1)+1]);xlabel('n');ylabel('R2(n)');grid on;

clc;clear all; BSY=[101,82,66,35,31,7,20,92,154,125,85,68,38,23,10,24,83,132,131,118,90,67,60,47,41,21,16,6,4,7,14,34,45,43,48,42,28,10,8,2,0,1,5,12,14,35,46,41,30,24,16,7,4,2,8,17,36,50,62,67,71,48,28,8,13,57,122,138,103,86,63,37,24,11,15,40,62,98,124,96,66,64,54,39,21,7,4,23,55,94,96,77,59,44,47,30,16,7,37,74] t1=BSY;%令t1序列為BSY t=round(mean(BSY));%對(duì)BSY取均值并取整 t1(t1==t)=[];%去除t1中得均值t得值 [acorr,span]=xcorr(t1);%求序列得自相關(guān) figure;plot(span,acorr);xlabel('年');ylabel('平均次數(shù)’);

四、分析

設(shè)x(n)x(n)x(n)和y(n)y(n)y(n)是兩個(gè)功率信號(hào),其互相關(guān)函數(shù)定義為：

當(dāng)x(n)=y(n)x(n)=y(n)x(n)=y(n),功率信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)定義為：

如果x(n)x(n)x(n)和y(n)y(n)y(n)都是周期為 N NN 的信號(hào)，則(10)、(11)中有限區(qū)間上的平均值就等于一個(gè)周期上的平均值：

當(dāng)x ( n ) = y (n ) x( n)=y( n)x(n)=y(n)時(shí)，功率信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)定義為

由周期信號(hào)的定義可得：

互相關(guān)函數(shù)性質(zhì)
設(shè)兩個(gè)信號(hào)x(n)x(n)x(n)和y(n)y(n)y(n) 均為能量信號(hào)，其能量分別為

對(duì)于線性非時(shí)變離散時(shí)間系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，若序列x(n)是系統(tǒng)的輸入，h(n)是系統(tǒng)在單位脈沖作用下的單位脈沖響應(yīng)，則由于輸入序列x(n)可表示為一系列脈沖的線性組合，所以，根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加性質(zhì)，系統(tǒng)的輸出在系統(tǒng)初始不儲(chǔ)能的條件下(零狀態(tài)響應(yīng))可由圖求得。

上式在運(yùn)算過(guò)程存在序列的翻轉(zhuǎn)、移位、相乘和相加，所以稱為卷積和。x(n)*h(n)表示兩個(gè)序列相卷積的運(yùn)算符號(hào)，故式①也就是卷積的定義式。為了與離散傅里葉變換的循環(huán)卷積以及周期序列的周期卷積相區(qū)別，通常所指的卷積又稱為線性卷積。卷積運(yùn)算符合交換率，可寫(xiě)成另一種等效形式。
線性卷積的計(jì)算可以用解析法，也可以用圖解法。若兩 個(gè)序列的長(zhǎng)度分別為N1和N2，則卷積結(jié)果的總長(zhǎng)度應(yīng)為L(zhǎng)=N1+N2-1。
同理，對(duì)線性非時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，若連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)是系統(tǒng)的輸入，h(t)是系統(tǒng)在單位脈沖作用下的單位沖激響應(yīng)，則系統(tǒng)在零狀態(tài)的輸出為它們的卷積積分。
線性卷積是數(shù)字信號(hào)處理中最常見(jiàn)的一種基本運(yùn)算，不僅用于系統(tǒng)分析還用于系統(tǒng)設(shè)計(jì)。如果代表濾波器的脈沖響應(yīng)則卷積運(yùn)算就是一種線性濾波，y(n)是信號(hào)x(n)通過(guò)濾波器后的響應(yīng)。
卷積性質(zhì)
（1）結(jié)合律：三個(gè)序列卷和運(yùn)算，任意兩個(gè)序列先卷和運(yùn)算，再與第3個(gè)序列作卷和運(yùn)算，其運(yùn)算結(jié)果等同。即

（2）交換律：離散序列卷和運(yùn)算滿足交換律，即兩序列卷和運(yùn)算與卷和次序無(wú)關(guān)，即　
（3）分配律：兩個(gè)序列先行相加運(yùn)算再與第3個(gè)序列做卷和運(yùn)算，其結(jié)果等于這兩個(gè)序列分別與第3個(gè)序列先做卷和運(yùn)算，然后二者再相加。

離散線性卷積的定義：設(shè)長(zhǎng)度為N1的序列x(n)和長(zhǎng)度為N2的序列h(n)進(jìn)行線性卷積，得到長(zhǎng)度為N1+N2-1的y(n)。離散圓周卷積的定義：圓周卷積是定義在有限長(zhǎng)序列之間的。設(shè)有限長(zhǎng)序列x(n)和h(n)的長(zhǎng)度分別為N1和N2，取N>=max(N1,N2)，定義它們的N點(diǎn)圓周卷積6。圓周卷積與線性卷積之間的關(guān)系：當(dāng)有限長(zhǎng)序列x(n)和h(n)的長(zhǎng)度分別為N1和N2，取N>=max(N1,N2)，當(dāng)N>=N1+N2-1，則線性卷積與圓周卷積相同。對(duì)于線性卷積，一般直接比較麻煩，由上可知當(dāng)取點(diǎn)數(shù)足夠多時(shí)（點(diǎn)數(shù)不夠補(bǔ)零），可求解圓周卷積即可，而圓周卷積又可通過(guò)FFT實(shí)現(xiàn)，從而實(shí)現(xiàn)線性卷積通過(guò)FFT和IFFT實(shí)現(xiàn)。
自相關(guān)檢測(cè)基本原理:
設(shè)混有隨機(jī)噪聲的信號(hào)為




將f(t)同時(shí)輸入到相關(guān)接收機(jī)的2個(gè)通道,其中一路經(jīng)過(guò)延遲電路,使它延遲時(shí)間r,然后將經(jīng)延遲后的f(t-T)和未經(jīng)延遲的f(t)送入相敏檢波器(乘法器),再將乘積積分,取平均值,從而得到f(t)的自相關(guān)函數(shù)R(T)。
由于信號(hào)與噪聲是不相關(guān)的,根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)知，Rns(T)=Rsn(T)=0,則有R(T）=Rss(t)+Rnn(t)。假設(shè)噪聲的均值為零,根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)知,隨著t的增大,噪聲自相關(guān)函數(shù)Rnn(T)衰減至零,結(jié)果使包含著s(t)信息的e。Rss(T)相對(duì)突出從而達(dá)到檢測(cè)信號(hào)的目的。

五、思考題

（1）對(duì)于無(wú)限長(zhǎng)序列序列的線性卷積的實(shí)現(xiàn)，能否利用直接編程計(jì)算的方式，為什么？

（2）試從區(qū)間端點(diǎn)及長(zhǎng)度兩方面總結(jié)有限長(zhǎng)序列線性卷積的結(jié)果序列的非零值區(qū)間與做卷積的兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的非零值區(qū)的關(guān)系。

（3）結(jié)合實(shí)驗(yàn)或仿真結(jié)果說(shuō)明在對(duì)周期信號(hào)進(jìn)行自相關(guān)序列的計(jì)算時(shí)為什么總要先去掉直流成分?

六、總結(jié)

通過(guò)這次實(shí)驗(yàn)，讓我知道序列的卷積和可以用matlab編程實(shí)現(xiàn)，并且實(shí)現(xiàn)的方法比較簡(jiǎn)單，而且matlab本身有豐富的函數(shù)庫(kù)，畫(huà)圖、求卷積和時(shí)只要調(diào)用相應(yīng)的函數(shù)即可。這次實(shí)驗(yàn)的難點(diǎn)主要就在寫(xiě)conv()函數(shù)和各序列長(zhǎng)度的計(jì)算，如果不注意其中的計(jì)算關(guān)系則很容易出錯(cuò)，而conv()只要寫(xiě)錯(cuò)，后面的題目的圖形就不能準(zhǔn)確的繪制出來(lái)。對(duì)于后面的兩個(gè)小題只要把相應(yīng)的序列寫(xiě)出來(lái)，寫(xiě)入用matlab表示的矩陣中，在調(diào)用dconv()畫(huà)出圖形即可。由于matlab這門課的學(xué)習(xí)距現(xiàn)在隔的的時(shí)間較長(zhǎng)，所以，在實(shí)驗(yàn)之前應(yīng)該做好預(yù)習(xí)準(zhǔn)備，熟悉matlab的基本操作，熟悉matlab相應(yīng)函數(shù)的用法，這樣，在實(shí)驗(yàn)中才能比較快速的完成實(shí)驗(yàn)的要求，就不會(huì)感到無(wú)從下手。

創(chuàng)作挑戰(zhàn)賽新人創(chuàng)作獎(jiǎng)勵(lì)來(lái)咯，堅(jiān)持創(chuàng)作打卡瓜分現(xiàn)金大獎(jiǎng)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的序列的卷积运算与相关运算——MATLAB的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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