1. 比較下列集合的基數(shù)大小并給出證明：A×A，P(A)，2→A，A→2.

解答與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：

|A×A| = |2→A| = |A|2(2 分)，

|P(A)| = |A→2| = 2|A|(2 分)。

分情況討論：

(1) A 為空集：注意A→2={空關(guān)系}，

|A×A| = |2→A| = 0 < |P(A)| = |A→2| = 1。(1 分)

(2) A 為有限集且|A|=1：

|A×A| = |2→A| = |A|2 = 1 < 2 = 2|A| = |P(A)| = |A→2| 。(1 分)

(3) A 為有限集且|A|=2：

|A×A| = |2→A| = |A|2 = 4 = 2|A| = |P(A)| = |A→2| 。(1 分)

(4) A 為有限集且|A|=3：

|A×A| = |2→A| = |A|2 =9 > 8 = 2|A| = |P(A)| = | A→2| 。(1 分)

(5) A 為有限集且|A|>4：

|A×A| = |2→A| = |A|2 < 2|A| = |P(A)| = |A→2| 。(1 分)

(6) A 為無(wú)限集：

|A×A| = |2→A| = |A|2 = |A| < 2|A|(康托定理)= |P(A)| = | A→2| (1 分)。

注(1)(2)(5)(6)結(jié)果相同，可合并。

本文選自新東方在線論壇。

總結(jié)

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