点到曲线的距离_如何从“圆锥”曲线到圆锥曲线
文章介紹
全文配圖，便于理解，嚴謹推導放在最后。
提前說明關鍵步驟：
推導第一定義時：將兩條焦半徑利用切線長定理轉換為到圓錐面兩點距離。
推導第二定義時：將焦半徑和到準線的距離利用垂直條件轉化成圓錐軸線長。
文章分為六個部分：
一、圓錐曲線，圓錐曲線的定義。
二、圓錐曲線的第一定義與“圓錐”曲線。
三、圓錐曲線的第二定義與“圓錐曲線。
四、圓錐曲線的一般性質。
五、上述一~四的過程推導。
一、圓錐曲線[1]
圓錐曲線，是由一平面截二次錐面得到的曲線。圓錐曲線包括橢圓（圓為橢圓的特例）、拋物線、雙曲線，在笛卡爾坐標系中全部為二次曲線。
圖1-1所截圓錐曲線是拋物線、橢圓還是雙曲線可由離心率
判斷，具體可看第五部分性質1以及第六部分第二節離心率分析。二、第一定義
1、拋物線
由第五部分性質1知，當
時，所截圖形為拋物線，在空間中找到公切球（參考第五部分第3節-尋找公切球）。圓錐的頂點設為
，此時僅有一個公切球，設球心為 ,記為球 ，與截面交點為 ，與圓錐的交線設為圓 ，在橢圓上任取一點 ， 與 的交點設為 。圖2-1-1圖2-1-2后續歸于第三部分，統一證明。
2、橢圓
設圓錐頂點為
， 。找到兩個公切球，球心分別設為
, ，記為 .與截面的切點分別為 ，與圓錐的交線設為圓 。在橢圓上任取一點
，連接直線 交 于 。圖2-2-1圖2-2-2 再xOy平面的投影圖2-2-33、雙曲線
設圓錐頂點為
, 。找到兩個公切球,球心分別設為
, ,記為球 ,球 , 與截面的切點分別為 ，與圓錐的交線設為圓 。在雙曲線上任取一點
，連接直線 交 于 。圖2-3-1三、第二定義
這一部分的點很多，但是清楚其中的重要步驟就很好理解：
將有關邊全部和圓錐軸線上的長度聯系起來
以橢圓為例，設靠近原點的焦點為
。電腦突然黑屏，保存下來得只有這一張了1、過
點作圓錐軸線的法平面交圓錐于圓 ,這樣就有了這樣就得到了
在軸線上的投影長度 。2、其對應公切球為球
,球 與圓錐公切線為圓 .圓
所在平面與 平面的交線為 （這就是第二定義中的準線）， 交 軸于 。 平面內 交 于點 ，然后設 交 軸于 。這樣四邊形
就是一個矩形，點 到準線的距離又有
軸線與
軸的夾角為3、由（3-1）以及（3-4），得
這就是圓錐曲線第二定義也就是統一定義得內容。
四、圓錐曲線的性質
性質1 由平面與圓錐所截得到的圓錐曲線的離心率
，其中 為圓錐軸線與截平面法線的夾角， 為圓錐軸線與母線的夾角。五、證明
1、圓錐曲線是二次曲線[2]
首先要知道圓錐的方程。
圖5-1-1為圓錐軸線， 為圓錐與 在 的法截面交線任一點，設 為圓錐母線與軸線的夾角，即為定值，根據
，當 一定時，我們可以得到圓錐最簡單的三維方程：即
圖5-1-2這就是以原點
為頂點，軸線為 ，母線與軸線夾角為 的圓錐。為了便于觀看，我們選擇固定平面，旋轉圓錐截取圓錐曲線。
取截平面為
平面，圓錐頂點為 ，其中 。 時為退化情況，圓錐與平面僅有以下三種情況： (a) 僅有交點 (b)交線為一條直線，即 軸 (c)交線為相交于 的兩條直線 圖略圓錐方程為
圓錐繞
軸旋轉，旋轉角度為 ， 時為圖5-1-3最后的旋轉效果即為圖2-1。
然后在
式中令 得可以看出方程的最高次項是2次，說明這是二次曲線。
2、離心率分析[3]
化簡
得到一般方程方程關于
軸對稱，不妨設 。（1）
得到圓，離心率
。（2）
二次項系數均大于0，為橢圓，半焦距
這樣算出離心率
（3）
得到拋物線，離心率
。（4）
得到雙曲線，半焦距
和
相同，這樣離心率也和 相同綜上所述，我們可以得出結論：
圓錐曲線的離心率
，其中 為圓錐軸線與截平面法線的夾角， 為圓錐軸線與母線的夾角。3、尋找公切球
尋找公切球即要找到與截平面相切、在圓錐內部且與圓錐相切的球。
設球心
坐標為 , 為球心到頂點 的距離。得
注意到其中
。(a)當
時， （5-3-1）僅有唯一解，解得球心坐標為
，半徑 。(b)當
時，（5-3-1）解出得到這些數據后，我們就可畫出(2-1)等圖像。
4、計算準線位置
在尋找公切球的過程中，公切球的在
的切點即為焦點坐標取焦點
。要驗證第二定義還要知道它的準線，根據定義式計算焦準距
所以準線方程為
這與三中利用平面截出的直線是相同的。
參考
總結
以上是生活随笔為你收集整理的点到曲线的距离_如何从“圆锥”曲线到圆锥曲线的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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