今天介紹關(guān)于計(jì)算機(jī)求解微分方程的六大數(shù)值計(jì)算的方法。

1.有限元法

有限元方法的基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法，其基本求解思想是把計(jì)算域劃分為有限個(gè)互不重疊的單元，在每個(gè)單元內(nèi)，選擇一些合適的節(jié)點(diǎn)作為求解函數(shù)的插值點(diǎn)，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達(dá)式，借助于變分原理或加權(quán)余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù) 形式，便構(gòu)成不同的有限元方法。 　

在有限元方法中，把計(jì)算域離散剖分為有限個(gè)互不重疊且相互連接的單元，在每個(gè)單元內(nèi)選擇基函數(shù)，用單元基函數(shù)的線形組合來逼近單元中的真解，整個(gè)計(jì)算域上總體的基函數(shù)可以看為由每個(gè)單元基函數(shù)組成的，則整個(gè)計(jì)算域內(nèi)的解可以看作是由所有單元 上的近似解構(gòu)成。

根據(jù)所采用的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)的不同 ，有限元方法也分為多種計(jì)算格式。從權(quán)函數(shù)的選擇來說，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法，從計(jì)算單元網(wǎng)格的形狀來劃分，有三角形網(wǎng)格、四邊形網(wǎng)格和多邊形網(wǎng)格，從插值函數(shù)的精度來劃分，又分為線性插值函數(shù)和高次插值函數(shù)等。不同的組合 同樣構(gòu)成不同的有限元計(jì)算格式。

對(duì)于權(quán)函數(shù)，伽遼金(Galerkin)法是將權(quán)函數(shù)取為逼近函數(shù)中的基函數(shù) ；最小二乘法是令權(quán)函數(shù)等于余量本身，而內(nèi)積的極小值則為對(duì)代求系數(shù)的平方誤差最小；在配置法中，先在計(jì)算域內(nèi)選取N個(gè)配置點(diǎn)。令近似解在選定的N個(gè)配置點(diǎn)上嚴(yán)格滿足微分方程，即在配置點(diǎn)上令方程余量為0。插值函數(shù)一般由不同次冪的多項(xiàng)式組成，但也有采用三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)組成的乘積表示，但最常用的多項(xiàng)式插值函數(shù)。有限元插值函數(shù)分為兩大類，一類只要求插值多項(xiàng)式本身在插值點(diǎn)取已知值，稱為拉格朗日(Lagrange)多項(xiàng)式插值；另一種不僅要求插值多項(xiàng)式本身，還要求它的導(dǎo)數(shù)值在插值點(diǎn)取已知值，稱為哈密特(Hermite)多項(xiàng)式插值。單元坐標(biāo)有笛卡爾直角坐標(biāo)系和無因次自然坐標(biāo)，有對(duì)稱和不對(duì)稱等。常采用的無因次坐標(biāo)是一種局部坐標(biāo)系，它的定義取決于單元的幾何形狀，一維看作長(zhǎng)度比，二維看作面積比，三維看作體積比。在二維有限元中，三角形單元應(yīng)用的最早，近來四邊形等參元的應(yīng)用也越來越廣。對(duì)于二維三角形和四邊形電源單元，常采用的插值函數(shù)為有La grange插值直角坐標(biāo)系中的線性插值函數(shù)及二階或更高階插值函數(shù)、面積坐標(biāo)系中的線 性插值函數(shù)、二階或更高階插值函數(shù)等。

對(duì)于有限元方法，其基本思路和解題步驟可歸納為

• 建立積分方程，根據(jù)變分原理或方程余量與權(quán)函數(shù)正交化原理，建立與微分方程初邊值問題等價(jià)的積分表達(dá)式，這是有限元法的出發(fā)點(diǎn)。
• 區(qū)域單元剖分，根據(jù)求解區(qū)域的形狀及實(shí)際問題的物理特點(diǎn)，將區(qū)域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區(qū)域單元?jiǎng)澐质遣捎糜邢拊椒ǖ那捌跍?zhǔn)備工作，這部分工作量比較大，除了給計(jì)算單元和節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)和確定相互之間的關(guān)系之外，還要表示節(jié)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，同時(shí)還需要列出自然邊界和本質(zhì)邊界的節(jié)點(diǎn)序號(hào)和相應(yīng)的邊界值。
• 確定單元基函數(shù)，根據(jù)單元中節(jié)點(diǎn)數(shù)目及對(duì)近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條件的插值函數(shù)作為單元基函數(shù)。有限元方法中的基函數(shù)是在單元中選取的，由于各單元 具有規(guī)則的幾何形狀，在選取基函數(shù)時(shí)可遵循一定的法則。
• 單元分析：將各個(gè)單元中的求解函數(shù)用單元基函數(shù)的線性組合表達(dá)式進(jìn)行逼近；再將近似函數(shù)代入積分方程，并對(duì)單元區(qū)域進(jìn)行積分，可獲得含有待定系數(shù)(即單元中各節(jié)點(diǎn) 的參數(shù)值)的代數(shù)方程組，稱為單元有限元方程。
• 總體合成：在得出單元有限元方程之后，將區(qū)域中所有單元有限元方程按一定法則進(jìn) 行累加，形成總體有限元方程。
• 邊界條件的處理：一般邊界條件有三種形式，分為本質(zhì)邊界條件(狄里克雷邊界條件 )、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對(duì)于自然邊界條件，一般在積分表達(dá)式中可自動(dòng)得到滿足。對(duì)于本質(zhì)邊界條件和混合邊界條件，需按一定法 則對(duì)總體有限元方程進(jìn)行修正滿足。
• 解有限元方程：根據(jù)邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉方程組，采用適當(dāng)?shù)臄?shù)值計(jì)算方法求解，可求得各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值。

2. 多重網(wǎng)格方法

多重網(wǎng)格方法通過在疏密不同的網(wǎng)格層上進(jìn)行迭代,以平滑不同頻率的誤差分量.具有收斂速度快,精度高等優(yōu)點(diǎn).

多重網(wǎng)格法基本原理微分方程的誤差分量可以分為兩大類，一類是頻率變化較緩慢的低頻分量；另一類是頻率高，擺動(dòng)快的高頻分量。一般的迭代方法可以迅速地將擺動(dòng)誤差衰減，但對(duì)那些低頻分量，迭代法的效果不是很顯著。高頻分量和低頻分量是相對(duì)的，與網(wǎng)格尺度有關(guān)，在細(xì)網(wǎng)格上被視為低頻的分量，在粗網(wǎng)格上可能為高頻分量。

多重網(wǎng)格方法作為一種快速計(jì)算方法，迭代求解由偏微分方程組離散以后組成的代數(shù)方程組，其基本原理在于一定的網(wǎng)格最容易消除波長(zhǎng)與網(wǎng)格步長(zhǎng)相對(duì)應(yīng)的誤差分量。該方法采用不同尺度的網(wǎng)格，不同疏密的網(wǎng)格消除不同波長(zhǎng)的誤差分量，首先在細(xì)網(wǎng)格上采用迭代法，當(dāng)收斂速度變緩慢時(shí)暗示誤差已經(jīng)光滑，則轉(zhuǎn)移到較粗的網(wǎng)格上消除與該層網(wǎng)格上相對(duì)應(yīng)的較易消除的那些誤差分量，這樣逐層進(jìn)行下去直到消除各種誤差分量，再逐層返回到細(xì)網(wǎng)格上。目前兩層網(wǎng)格方法從理論上已證明是收斂的，并且其收斂速度與網(wǎng)格尺度無關(guān)。

多重網(wǎng)格法是迭代法與粗網(wǎng)格修正的組合，經(jīng)過證明迭代法可迅速地將那些高頻分量去掉，粗網(wǎng)格修正則可以幫助消除那些光滑了的低頻分量，而對(duì)那些高頻分量基本不起作用。科研中國(guó)SciEi.com 在多重網(wǎng)格計(jì)算中，需要一些媒介把細(xì)網(wǎng)格上的信息傳遞到粗網(wǎng)格上去，同時(shí)還需要一些媒介把粗網(wǎng)格上的信息傳遞到細(xì)網(wǎng)格上去。限制算子Iih(i-1)h是把細(xì)網(wǎng)格i-1層上的殘余限制到粗網(wǎng)格i層上的算子，最簡(jiǎn)單的算子是平凡單射，另外還有特殊加權(quán)限制；插值算子Iih(i-1)h是把粗網(wǎng)格i層上的結(jié)果插值到細(xì)網(wǎng)格i-1層上的算子，一般采用線性插值或完全加權(quán)限制算子。

3.有限差分方法

有限差分方法(FDM)是計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運(yùn)用。該方法將求解域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)代替連續(xù)的求解域。有限差分法以Taylor級(jí)數(shù)展開等方法，把控制方程中的導(dǎo)數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值的差商代替進(jìn)行離散，從而建立以網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的值為未知數(shù)的代數(shù)方程組。該方法是一種直接將微分問題變?yōu)榇鷶?shù)問題的近似數(shù)值解法，數(shù)學(xué)概念直觀，表達(dá)簡(jiǎn)單，是發(fā)展較早且比較成熟的數(shù)值方法。對(duì)于有限差分格式，從格式的精度來劃分，有一階格式、二階格式和高階格式。從差分的空間形式來考慮，可分為中心格式和逆風(fēng)格式。考慮時(shí)間因子的影響，差分格式還可以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。目前常見的差分格式，主要是上述幾種形式的組合，不同的組合構(gòu)成不同的差分格式。差分方法主要適用于有結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，網(wǎng)格的步長(zhǎng)一般根據(jù)實(shí)際地形的情況和柯朗穩(wěn)定條件來決定。

構(gòu)造差分的方法有多種形式，目前主要采用的是泰勒級(jí)數(shù)展開方法。其基本的差分表達(dá)式主要有三種形式：一階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計(jì)算精度，后兩種格式為二階計(jì)算精度。通過對(duì)時(shí)間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計(jì)算格式。

4.有限體積法

有限體積法(Finite Volume Method)又稱為控制體積法。其基本思路是：將計(jì)算區(qū)域劃分為一系列不重復(fù)的控制體積，并使每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)周圍有一個(gè)控制體積；將待解的微分方程對(duì)每一個(gè)控制體積積分，便得出一組離散方程。其中的未知數(shù)是網(wǎng)格點(diǎn)上的因變量的數(shù)值。為了求出控制體積的積分，必須假定值在網(wǎng)格點(diǎn)之間的變化規(guī)律，即假設(shè)值的分段的分布的分布剖面。從積分區(qū)域的選取方法看來，有限體積法屬于加權(quán)剩余法中的子區(qū)域法；從未知解的近似方法看來，有限體積法屬于采用局部近似的離散方法。簡(jiǎn)言之，子區(qū)域法屬于有限體積發(fā)的基本方法。

有限體積法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解釋。離散方程的物理意義，就是因變量在有限大小的控制體積中的守恒原理，如同微分方程表示因變量在無限小的控 制體積中的守恒原理一樣。限體積法得出的離散方程，要求因變量的積分守恒對(duì)任意一組控制體積都得到滿足，對(duì)整個(gè)計(jì)算區(qū)域，自然也得到滿足。這是有限體積法吸引人的優(yōu)點(diǎn)。有一些離散方法，例如有限差分法，僅當(dāng)網(wǎng)格極其細(xì)密時(shí)，離散方程才滿足積分守恒；而有限體積法即使在粗網(wǎng)格情況下，也顯示出準(zhǔn)確的積分守恒。就離散方法而言，有限體積法可視作有限單元法和有限差分法的中間物。有限單元法必須假定值在網(wǎng)格點(diǎn)之間的變化規(guī)律(既插值函數(shù))，并將其作為近似解。有限差分法只考慮網(wǎng)格點(diǎn)上的數(shù)值而不考慮值在網(wǎng)格點(diǎn)之間如何變化。有限體積法只尋求的結(jié)點(diǎn)值 ，這與有限差分法相類似；但有限體積法在尋求控制體積的積分時(shí)，必須假定值在網(wǎng)格點(diǎn)之間的分布，這又與有限單元法相類似。在有限體積法中，插值函數(shù)只用于計(jì)算控制體積的積分，得出離散方程之后，便可忘掉插值函數(shù)；如果需要的話，可以對(duì)微分方程 中不同的項(xiàng)采取不同的插值函數(shù)。

5.近似求解的誤差估計(jì)方法

近似求解的誤差估計(jì)方法共有三大類:單元余量法,通量投射法及外推法.

單元余量法廣泛地用于以FEM離散的誤差估計(jì)之中,它主要是估計(jì)精確算子的余量,而不是整套控制方程的全局誤差.這樣就必須假定周圍的單元誤差并不相互耦合,誤差計(jì)算采用逐節(jié)點(diǎn)算法進(jìn)行.單元余量法的各種不同做法主要來自對(duì)單元誤差方程的邊界條件的不同處理辦法.基于此,該方法能夠有效處理局部的殘余量,并能成功地用于網(wǎng)格優(yōu)化程序.

通量投射法的基本原理來自一個(gè)很簡(jiǎn)單的事實(shí):精確求解偏微分方程不可能有不連續(xù)的微分,而近似求解卻可以存在微分的不連續(xù),這樣產(chǎn)生的誤差即來自微分本身,即誤差為系統(tǒng)的光滑求解與不光滑求解之差.該方法與單元余量法一樣,對(duì)節(jié)點(diǎn)誤差采用能量范數(shù),故也能成功地用于網(wǎng)格優(yōu)化程序.單元余量法及通量投射法都局限于局部的誤差計(jì)算(采用能量范數(shù)),誤差方程的全局特性沒有考慮.另外計(jì)算的可行性(指誤差估計(jì)方程的計(jì)算時(shí)間應(yīng)小于近似求解計(jì)算時(shí)間)不能在這兩種方法中體現(xiàn),因?yàn)楂@得的誤差方程數(shù)量,階數(shù)與流場(chǎng)控制方程相同.

外推法是指采用后向數(shù)值誤差估計(jì)思想由精確解推出近似解的誤差值.各類文獻(xiàn)中較多地采用Richardson外推方法來估計(jì)截?cái)嗾`差.無論是低階還是高階格式,隨著網(wǎng)格的加密數(shù)值計(jì)算結(jié)果都會(huì)趨近于準(zhǔn)確解.但由于計(jì)算機(jī)內(nèi)存與計(jì)算時(shí)間的限制,實(shí)際上不能采用這種網(wǎng)格無限加密的辦法.由Richardson所發(fā)展起來的外推方法,可以利用在不同疏密網(wǎng)格上得出的結(jié)果估計(jì)相應(yīng)的收斂解,可以估計(jì)所用離散方法截?cái)嗾`差的階數(shù),可以估計(jì)所得數(shù)值計(jì)算的截?cái)嗾`差.該方法有很大的局限性,不能簡(jiǎn)單地用于復(fù)雜湍流流動(dòng);并且在數(shù)值計(jì)算中數(shù)值解必須單調(diào)地趨近于其收斂值.而文獻(xiàn)提出的單網(wǎng)格后向誤差估計(jì)思想,在采用有限元法FEM,有限容積法FVM時(shí)均有應(yīng)用,并且還用于網(wǎng)格優(yōu)化程序,但該方法也不能用于復(fù)雜湍流流動(dòng)的數(shù)值分析.

6.多尺度計(jì)算方法

近年來發(fā)展的多尺度計(jì)算方法包括均勻化方法、非均勻化多尺度方法、以及小波數(shù)值均勻化方法、多尺度有限體積法、多尺度有限元法等。

均勻化方法是一種多尺度分析的方法。該方法通過對(duì)單胞問題的求解，把細(xì)觀尺度的信息映射到宏觀尺度上，從而推導(dǎo)出宏觀尺度上的均勻化等式，即可在宏觀尺度上求解原問題。均勻化方法在很多科學(xué)和工程應(yīng)用中取得了巨大成功，但這種方法建立在系數(shù)細(xì)觀結(jié)構(gòu)周期性假設(shè)的基礎(chǔ)上，因此應(yīng)用范圍受到了很大限制。

鄂維南等提出的非均勻化多尺度方法，是構(gòu)造多尺度計(jì)算方法的一般框架。該方法有兩個(gè)重要的組成部分：基于宏觀變量的整體宏觀格式和由微觀模型來估計(jì)缺少的宏觀數(shù)據(jù)，多尺度問題的解通過這兩部分共同得到。

小波數(shù)值均勻化方法是由Dorbonuat、Enguqist提出的求解橢圓型方程的新型方法。該方法基于多分辨分析，在細(xì)尺度上建立原方程的離散算子，然后對(duì)離散算子進(jìn)行小波變換，得到了大尺度上的數(shù)值均勻化算子。此方法在大尺度上解方程，大大地減小了計(jì)算時(shí)間。

多尺度有限元方法是由Babuska等提出的。該法在宏觀尺度上進(jìn)行網(wǎng)格剖分，然后通過在每個(gè)單元里求解細(xì)觀尺度的方程(構(gòu)造線性或者振蕩的邊界條件)來獲得基函數(shù)。從而把細(xì)觀尺度的信息反應(yīng)到有限元法的基函數(shù)里，使宏觀尺度的解包含了細(xì)觀尺度的信息。但多尺度有限元方法在構(gòu)造基函數(shù)時(shí)需要較大的計(jì)算量。

以上介紹了計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算常用的幾種方法，了解這些方法原理及其優(yōu)缺點(diǎn)有助于我們加深對(duì)數(shù)值計(jì)算的認(rèn)識(shí)，方便我們?cè)跀?shù)值計(jì)算過程中掌握主動(dòng)權(quán)。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的栅格单元值的选取方法_计算机求解微分方程的六大数值计算方法的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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