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平衡二叉树平衡因子怎么计算_数据结构PHP 平衡二叉树(AVL)的平衡原理

發布時間：2025/3/15 php 51 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了平衡二叉树平衡因子怎么计算_数据结构PHP 平衡二叉树(AVL)的平衡原理小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

這篇文章主要介紹一下?平衡二叉樹(AVL)，對于?二分搜索樹?來說，如果樹上的?元素?是順序?添加的，會導致數據退化成一個?鏈表，這樣就會造成很嚴重的性能問題，此時就需要在?二分搜索樹?的基礎上，保證元素插入時平衡，在了解?AVL?之前，需要您對?二分搜索樹?有一定的了解，可以參考之前的文章。

1.二分搜索樹的問題

如下圖所示，若向二分搜索樹中添加的元素是按照?順序?從小到大依次插入的，這樣會導致最后節點退化成鏈表:

Tips：反過來依次從大到插入元素也會出現退化成?鏈表。

2.二叉樹節點高度標注示意圖

Tips：平衡因子等于左兒子高度減去右兒子高度，如45?和這個節點平衡因子?-2。

3.平衡二叉樹特點

對于任何一個節點，左兒子樹?和?右兒子樹?的高度差(Δh)的絕對值不能超過?1，高度差(Δh)?稱為?平衡因子。
本質是帶了平衡功能的二分搜索樹。
平衡二叉樹(AVL) 的高度(h)和節點數之間的關系是?O(logn)級別的。

4.節點定義 PHP 代碼

對于?二分搜索樹?來說，AVL?需要在插入元素的時候保證?平衡，就需要引入節點高度(h)，所以節點定義需要在?二分搜索樹?節點定義的基礎上增加一個?height?屬性：

class AVLNode{
public $e;
public $left = null;
public $right = null;
public $height = 1;

/**
* 構造函數初始化節點數據
* Node constructor.
* @param $e
*/
public function __construct($e){
$this->e = $e;
}
}

5.計算平衡因子

平衡因子等于左兒子高度減去右兒子高度，代碼如下：

/**
* 獲取 AVL 節點的高度 h
* @param AVLNode $node
* @return int
*/
private function getHeight(AVLNode $node){
if ($node == null) {
return 0;
}
return $node->height;
}
/**
* 獲取節點平衡因子
* @param AVLNode $node
* @return int\
*/
private function getBalanceFactor(AVLNode $node){
if ($node == null){
return 0;
}
return $this->getHeight($node->left) - $this->getHeight($node->right);
}

6.更新節點高度

若遞歸插入元素時，需要更新節點高度，遞歸時當前節點高度?h = 1 + (左右兒子中最大h)，代碼如下：

/**
* 向 AVL 添加元素
* @param $e
*/
public function add($e){
$this->root = $this->recursionAdd($this->root, $e);
}

/**
* 遞歸向 AVL 添加元素
* @param Node $root
* @param $e
*/
private function recursionAdd($root, $e){
if ($root == null) { //若節點為空則添加元素并且返回當前節點信息
$root = new AVLNode($e);
$this->size++;
} elseif ($e < $root->e) { //若元素小于當前節點元素則向左節點遞歸添加元素
$root->left = $this->recursionAdd($root->left, $e);
} elseif ($e > $root->e) { //若元素大于當前節點元素則向右節點遞歸添加元素
$root->right = $this->recursionAdd($root->right, $e);
} //若元素等于當前節點元素則什么都不做

//更新節點高度
$root->height = 1 + ($this->getHeight($root->left) > $this->getHeight($root->right) ? $this->getHeight($root->left) : $this->getHeight($root->right));
return $root;
}

Tips：此處代碼直接貼出之前?二分搜索樹?代碼添加元素方法。

7.判斷二叉樹是否為二分搜索樹

若要判斷二叉樹是否為二分搜索樹，則需要將二叉樹中序遍歷，若輸出結果是按照順序依次從小到大排列的，則表示該?二叉樹?是一顆?二分搜索樹，采用遞歸思想層序遍歷然后將節點元素依次入隊，代碼如下，然后依次出隊查看出隊元素是否依次增大：

/**
* 判斷二叉樹是否為二分搜索樹
*/
public function isBST(){
$queue = new QueueByLinkedList();
$this->inOrder($this->root, $queue);
do {
$e = $queue->dequeue();
if ($queue->getSize() > 0 && $e > $queue->getFront()) {
return false;
}
} while ($queue->getSize() > 0);

return true;
}

/**
* 中序遍歷二分搜索樹
*/
private function inOrder($root, $queue){
if ($root != null) {
$this->inOrder($root->left, $queue);
$queue->enqueue($root->e);
$this->inOrder($root->right, $queue);
}
}

8.判斷二叉樹是否為平衡二叉樹(AVL)

若需要判斷二叉樹是否為平衡二叉樹(AVL)，則需要遍歷二叉樹，判斷平衡因子?的絕對值是否大于?1，若大于?1?則不是?平衡二叉樹(AVL)，否則就是，代碼如下，使用遞歸處理：

/**
* 判斷二叉樹是否為平衡二叉樹
* @return bool
*/
public function isBalanced(): bool{
return $this->recursionIsBalanced($this->root);
}

/**
* 遍歷二叉樹判斷每個節點是否滿足平衡因子絕對值小于等于 1
* @param $node
* @return bool
*/
private function recursionIsBalanced($node){
if ($node != null) {
if ($this->getBalanceFactor($node) < -1 || $this->getBalanceFactor($node) > 1) {
return false;
}
$left = $this->recursionIsBalanced($node->left);
$right = $this->recursionIsBalanced($node->right);

if (!$left || !$right) {
return false;
}
}

return true;
}

9.添加元素時的平衡原理

9.1 添加元素影響節點示意圖

若向?二叉樹?中添加元素，則只需判斷該節點的?父親節點?和?祖先節點?的?平衡因子?即可，如下圖所示：

9.2 添加元素在左兒子左側時右旋轉示意圖(LL)

Tips：如圖所示，新添加的元素是在左兒子的左側，此時?右旋轉可以糾正平衡。

9.3 添加元素在右兒子右側時左旋轉示意圖(RR)

Tips：如圖所示，新添加的元素是在右兒子的右側，此時?左旋轉可以糾正平衡。

9.4 添加元素在左兒子右側時先把左兒子左旋轉再右旋轉該節點(LR)

Tips：如圖所示，新添加的元素是在左兒子的右側，此時先把左兒子左旋轉，再?右旋轉該節點可以糾正平衡。

9.5 添加元素在右兒子左側時先把右兒子右旋轉再左旋轉該節點(RL)

Tips：如圖所示，新添加的元素是在右兒子的左側，此時先把右兒子右旋轉，再?左旋轉該節點可以糾正平衡。

9.3 右旋轉代碼

/** 對節點 r 進行右旋轉操作，返回旋轉后的節點
* 35($r) 25($m)
* / \ / \
* 25($m) 45 15($n) 35($r)
* / \ 對35節點右旋轉之后 / \ / \
* 15($n) 30($a) 10 20 30($a) 45
* / \
* 10 20
* 對應的關系如下：
* $m = $r->left;
* $a = $m->right;
* $m->right = $r;
* $r->left = $a;
*/
private function rightRotate($r)
{
$m = $r->left;
$a = $m->right;
$m->right = $r;
$r->left = $a;
//右旋轉之后只需要更新 $m 節點和 $r 節點的高度
$r->height = $this->getHeight($r);
$m->height = $this->getHeight($m);
return $m;
}

9.5 左旋轉代碼

9.6 完整PHP代碼

<?php require $root . '/QueueByLinkedList/QueueByLinkedList.php';class AVL{private $root;private $size;/**
* 構造函數初始化 AVL
* BinarySearchTree constructor.
*/public function __construct(){$this->root = null;$this->size;
}/** 對節點 r 進行右旋轉操作，返回旋轉后的節點
* 35($r) 25($m)
* / \ / \
* 25($m) 45 15($n) 35($r)
* / \ 對35節點右旋轉之后 / \ / \
* 15($n) 30($a) 10 20 30($a) 45
* / \
* 10 20
* 對應的關系如下：
* $m = $r->left;
* $a = $m->right;
* $m->right = $r;
* $r->left = $a;
*/private function rightRotate($r){
$m = $r->left;
$a = $m->right;
$m->right = $r;
$r->left = $a;//右旋轉之后只需要更新 $m 節點和 $r 節點的高度
$r->height = $this->getHeight($r);
$m->height = $this->getHeight($m);return $m;
}/** 對節點 r 進行左旋轉操作，返回旋轉后的節點
* 35($r) 45($m)
* / \ / \
* 30 45($m) 35($n) 55($r)
* / \ 對35節點左旋轉之后 / \ / \
* 40($a) 55($n) 30 40 50($a) 60
* / \
* 50 60
* 對應的關系如下：
* $m = $r->right;
* $a = $m->left;
* $m->left = $r;
* $r->right = $a;
*/private function leftRotate($r){
$m = $r->right;
$a = $m->left;
$m->left = $r;
$r->right = $a;//左旋轉之后只需要更新 $m 節點和 $r 節點的高度
$r->height = $this->getHeight($r);
$m->height = $this->getHeight($m);return $m;
}/**
* 判斷二叉樹是否為二分搜索樹
*/public function isBST(): bool{
$queue = new QueueByLinkedList();$this->inOrder($this->root, $queue);do {
$e = $queue->dequeue();if ($queue->getSize() > 0 && $e > $queue->getFront()) {return false;
}
} while ($queue->getSize() > 0);return true;
}/**
* 判斷二叉樹是否為平衡二叉樹
* @return bool
*/public function isBalanced(): bool{return $this->recursionIsBalanced($this->root);
}/**
* 遍歷二叉樹判斷每個節點是否滿足平衡因子絕對值小于等于 1
* @param $node
* @return bool
*/private function recursionIsBalanced($node){if ($node != null) {if ($this->getBalanceFactor($node) < -1 || $this->getBalanceFactor($node) > 1) {return false;
}
$left = $this->recursionIsBalanced($node->left);
$right = $this->recursionIsBalanced($node->right);if (!$left || !$right) {return false;
}
}return true;
}/**
* 中序遍歷二分搜索樹
*/private function inOrder($root, $queue){if ($root != null) {$this->inOrder($root->left, $queue);
$queue->enqueue($root->e);$this->inOrder($root->right, $queue);
}
}/**
* 獲取 AVL 節點的高度 h
* @param AVLNode $node
* @return int
*/private function getHeight($node){if ($node == null) {return 0;
}return $node->height;
}/**
* 獲取當前搜索樹元素個數
* @return mixed
*/public function getSize(){return $this->size;
}/**
* 判斷當前 AVL 是否為空
* @return bool
*/public function isEmpty(): bool{return $this->size == 0;
}/**
* 向 AVL 添加元素
* @param $e
*/public function add($e){$this->root = $this->recursionAdd($this->root, $e);
}/**
* 遞歸向 AVL 添加元素
* @param Node $root
* @param $e
*/private function recursionAdd($root, $e){if ($root == null) { //遞歸到底的情況，若節點為空則添加元素并且返回當前節點信息
$root = new AVLNode($e);$this->size++;
} elseif ($e < $root->e) { //若元素小于當前節點元素則向左節點遞歸添加元素
$root->left = $this->recursionAdd($root->left, $e);
} elseif ($e > $root->e) { //若元素大于當前節點元素則向右節點遞歸添加元素
$root->right = $this->recursionAdd($root->right, $e);
} //若元素等于當前節點元素則什么都不做//更新節點高度
$root->height = 1 + ($this->getHeight($root->left) > $this->getHeight($root->right) ? $this->getHeight($root->left) : $this->getHeight($root->right));//平衡的維護
$balanceFactor = $this->getBalanceFactor($root);//LL 添加元素在左兒子左側if ($balanceFactor > 1 && $this->getBalanceFactor($root->left) >= 0) {$this->rightRotate($root);
}//RR 添加元素在右兒子右側if ($balanceFactor < -1 && $this->getBalanceFactor($root->left) <= 0) {$this->leftRotate($root);
}//LR 添加元素在左兒子右側if ($balanceFactor > 1 && $this->getBalanceFactor($root->right) < 0) {//先把左兒子左旋轉
$root->left = $this->leftRotate($root->left);//再把該節點右旋轉
$root = $this->rightRotate($root);
}//RL 添加元素在右兒子左側if ($balanceFactor < -1 && $this->getBalanceFactor($root->right) < 0) {//先把右兒子右旋轉
$root->right = $this->leftRotate($root->right);//再把該節點左旋轉
$root = $this->leftRotate($root);
}return $root;
}/**
* 獲取節點平衡因子
* @param AVLNode $node
* @return int\
*/private function getBalanceFactor($node){if ($node == null) {return 0;
}return $this->getHeight($node->left) - $this->getHeight($node->right);
}/**
* 判斷 AVL 是否包含某個元素
* @param $e
* @return bool
*/public function contains($e): bool{return $this->recursionContains($this->root, $e);
}/**
* 遞歸判斷 AVL 是否包含某元素
* @param $root
* @param $e
* @return bool
*/private function recursionContains($root, $e): bool{if ($root == null) { //若當前節點為空則表示不存在元素 $ereturn false;
} elseif ($e == $root->e) { //若 $e 等于當前節點元素，則表示樹包含元素 $ereturn true;
} elseif ($e < $root->e) { //若 $e 小于當前節點元素，則去左兒子樹遞歸查詢是否包含節點return $this->recursionContains($root->left, $e);
} else { //若 $e 大于當前節點元素，則去右兒子樹遞歸查詢是否包含節點return $this->recursionContains($root->right, $e);
}
}/**
* 前序遍歷
*/public function preTraversal(){$this->recursionPreTraversal($this->root, 0);
}/**
* 前序遍歷的遞歸
*/public function recursionPreTraversal($root, $sign_num){echo $this->getSign($sign_num);//打印深度if ($root == null) {echo "null
";return;
}echo $root->e . "
"; //打印當前節點元素$this->recursionPreTraversal($root->left, $sign_num + 1);$this->recursionPreTraversal($root->right, $sign_num + 1);
}/**
* 中序遍歷
*/public function midTraversal(){$this->recursionMidTraversal($this->root, 0);
}/**
* 中序遍歷的遞歸
*/public function recursionMidTraversal($root, $sign_num){if ($root == null) {echo $this->getSign($sign_num);//打印深度echo "null
";return;
}$this->recursionMidTraversal($root->left, $sign_num + 1);echo $this->getSign($sign_num);//打印深度echo $root->e . "
";$this->recursionMidTraversal($root->right, $sign_num + 1);
}/**
* 后序遍歷
*/public function rearTraversal(){$this->recursionRearTraversal($this->root, 0);
}/**
* 后序遍歷的遞歸
*/public function recursionRearTraversal($root, $sign_num){if ($root == null) {echo $this->getSign($sign_num);//打印深度echo "null
";return;
}$this->recursionRearTraversal($root->left, $sign_num + 1);$this->recursionRearTraversal($root->right, $sign_num + 1);echo $this->getSign($sign_num);//打印深度echo $root->e . "
";
}/**
* 前序遍歷壓棧實現
*/public function preTraversalByStack(){
$stack = new StackByLinkedList();//將根節點壓入棧
$stack->push($this->root);while (!$stack->isEmpty()) {//出棧
$node = $stack->pop();if ($node != null) { //若出棧的當前節點不是空echo $node->e . "
"; //先入棧//先入棧右兒子
$stack->push($node->right);//然后入棧左兒子
$stack->push($node->left);
} else { //若是空echo "null
";
}
}
}/**
* 中序遍歷壓棧實現
*/public function midTraversalByStack(){
$stack = new StackByLinkedList();//將根節點壓入棧
$stack->push($this->root);//循環依次出棧
$node = $stack->pop();do {if ($node != null) { //若出棧的當前節點不是空//先入棧右兒子
$stack->push($node->right);echo $node->e . "
"; //然后打印當前節點信息//最后入棧左兒子
$stack->push($node->left);
} else { //若是空echo "null
";
}//繼續出棧
$node = $stack->pop();
} while (!$stack->isEmpty());
}/**
* 層序遍歷實現
*/public function tierTraversalByLinkedList(){
$queue = new QueueByLinkedList();//將根節點入隊
$queue->enqueue($this->root);//循環依次出隊
$node = $queue->dequeue();do {if ($node != null) { //若出棧的當前節點不是空echo $node->e . "
"; //然后打印當前節點信息
$queue->enqueue($node->left);//左兒子入隊
$queue->enqueue($node->right);//右兒子入隊
} else { //若是空echo "null
";
}//繼續出隊
$node = $queue->dequeue();
} while (!$queue->isEmpty());
}/**
* 獲取最小元素
* @return mixed
*/public function getMin(){return $this->getMinNode($this->root)->e;
}/**
* 獲取某顆樹最小元素節點
* @param $root
* @return mixed
*/private function getMinNode($root){for ($node = $root; $node != null; $node = $node->left) {if ($node->left != null) {
$root = $node->left;
} else {
$root = $node;
}
}return $root;
}/**
* 獲取最大元素
* @return mixed
*/public function getMax(){return $this->getMaxNode($this->root)->e;
}/**
* 獲取某顆樹最大元素節點
* @param $root
* @return mixed
*/private function getMaxNode($root){for ($node = $root; $node != null; $node = $node->right) {if ($node->right != null) {
$root = $node->right;
} else {
$root = $node;
}
}return $root;
}/**
* 刪除 AVL 元素
* @param $e
*/public function remove($e){$this->root = $this->recursionRemove($this->root, $e);
}/**
* 遞歸刪除 AVL 元素
* @param $root
* @param $e
*/private function recursionRemove($root, $e){if ($root != null) {if ($e == $root->e) {
$root = $this->joinRemoveNode($root);
} elseif ($e < $root->e) {
$root->left = $this->recursionRemove($root->left, $e);
} else {
$root->right = $this->recursionRemove($root->right, $e);
}
}return $root;
}/**
* 拼接刪除節點返回新節點
*/private function joinRemoveNode($root){if ($root->left != null && $root->right == null) {
$root = $root->left;
} elseif ($root->left == null && $root->right != null) {
$root = $root->right;
} else {
$leftMax = $this->getMaxNode($root->left);
$leftMax->right = $root->right;
$root = $root->left;
}return $root;
}public function getSign($num){
$str = "";for ($i = 0; $i < $num; $i++) {
$str .= "-----";
}return $str;
}
}class AVLNode{public $e;public $left = null;public $right = null;public $height = 1;/**
* 構造函數初始化節點數據
* Node constructor.
* @param $e
*/public function __construct($e){$this->e = $e;
}
}

10.輸出演示

<?php require 'AVL.php';
$avl = new AVL();for ($i = 1; $i <= 3; $i++) { //按順序添加元素
$avl->add($i);
}
var_dump($avl->isBST());//判斷是否為二分搜索樹
var_dump($avl->isBalanced());//判斷是否平衡

演示如下：

代碼倉庫：https://gitee.com/love-for-poetry/data-structure

掃碼關注愛因詩賢

總結

以上是生活随笔為你收集整理的平衡二叉树平衡因子怎么计算_数据结构PHP 平衡二叉树(AVL)的平衡原理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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