柱面及其方程

學(xué)習(xí)李建平教授空間解析幾何

• 柱面的定義

• 柱面方程及其特點

  • 準(zhǔn)線位于坐標(biāo)面母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程及特點

  • 常見柱面

  • 一般柱面方程

• 柱面的參數(shù)方程

• 例1

• 例2

• 參考資料

回顧:圓柱面

圓柱面可以視為到一定直線的距離等于常數(shù)的動點的軌跡.

定直線取為軸

圓柱面也可以視為動直線繞一條平行的定直線旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面．

圓柱面也可以視為動直線在圓周C上平行移動得到的曲面．

圖一

柱面的定義

在空間中，由平行于定方向且與一條定曲線相交的一族平行直線所構(gòu)成的曲面叫做柱面.

直觀地，柱面就是由一條平行于直線? 的直線沿曲線? 連續(xù)平移而形成的平行直線族.

• 動直線? 叫做柱面的直母線,
• 定曲線? 叫做柱面的準(zhǔn)線.

平行于動直線的方向? 叫做直母線方向

圖二

【注1】柱面的準(zhǔn)線是不唯一的．

與每一條母線都相交的曲線都可以作為柱面的準(zhǔn)線.

【注2】柱面也可看成是由準(zhǔn)線沿著平行于母線的直線平移而形成的曲面.

【注3】平面也是柱面.

可以看成是一條直線沿著另一條與之相交的共面直線移動而成.

柱面方程及其特點

引例 ? 方程? 在? 空間表示圓柱面? ?,但在? 平面表示圓周? .

方程特點:方程中不含變量? .

幾何特點(圖一):

• 柱面S上點? 在? 平面上的投影點? 在曲線? 上.
• 柱面的母線平行于z軸，準(zhǔn)線為? ?平面上的曲線? .

一般地，方程 ? 在? 空間表示柱面? ?,但在? 平面表示曲線? .

方程特點:方程中不含變量? .

幾何特點(圖三):

• 柱面S上點? 在? 平面上的投影點? 在曲線? 上.
• 柱面的母線平行于z軸，準(zhǔn)線為? ?平面上的曲線? .

圖三

準(zhǔn)線位于坐標(biāo)面母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程及特點

(1)方程表示柱面．母線平行于軸，準(zhǔn)線為? 平面上的曲線

(2)方程? 表示柱面．母線平行于x軸，準(zhǔn)線為? 平面上的曲線

(3)方程表示柱面．母線平行于軸，準(zhǔn)線為 平面上的曲線(圖4)

圖4

常見柱面

圖5

一般柱面方程

已知準(zhǔn)線和母線方向? ，求柱面? 的方程．

圖6

在柱面S上取動點? ，作平行于母線方向v的直線交準(zhǔn)線C于點 。則

消去參數(shù) ? 得柱面的一般方程

柱面的參數(shù)方程

已知準(zhǔn)線? ,和母線方向? 的柱面S的方程．(圖6)

在柱面S上取動點? ，作平行于母線方向v的直線交準(zhǔn)線C于點? .

則柱面的參數(shù)方程為

例1

求準(zhǔn)線為? 平面上的橢圓? .母線平行于 直線的柱面方程﹒

**【解法1】**準(zhǔn)線的參數(shù)方程為 ?.

在柱面S上取動點 ? ，作平行于母線方向? 的直線交準(zhǔn)線C于點? .

則柱面的參數(shù)方程為?

消去參數(shù)? 得柱面的一般方程?

【解法2】 準(zhǔn)線的一般方程為?

在柱面S上取動點? ，作平行于母線的直線? 交準(zhǔn)線于點? ﹒則

整理得柱面的一般方程

例2

方程?＋ 表示柱面?

【解】要說明曲面為柱面，只要說明它是由一族平行直線產(chǎn)生的.

作直線族? ,即? .

它們的方向向量均為? ，故它們是位于上的平行直線族.所以，曲面是柱面．

因母線交? 平面于點? ，這些點形成的軌跡為柱面的準(zhǔn)線? ．柱面的母線方向為 .

注 :柱面? 的圖形 ,它是一個雙曲柱面 .

注 :曲線?也可以作為柱面S的準(zhǔn)線 .

參考資料

[1] 宋衛(wèi)東 . 《解析幾何》，高等教育出版社.

[2] 丘維聲編. 《解析幾何》. 北京大學(xué)出版社.

[2] 呂林根，許子道等編. 《解析幾何》. 高等教育出版社.

[3] 呂林根. 《解析幾何學(xué)習(xí)輔導(dǎo)書》. 高等教育出版社.

[4] 謝敬然，柯媛元. 空間解析幾何，高等教育出版社

[5] 周建偉 解析幾何，高等教育出版社

總結(jié)

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