時間、空間復雜度比較

查找算法平均時間復雜度空間復雜度查找條件

順序查找	O(n)	O(1)	無序或有序
二分查找(折半查找)	O(log2n)	O(1)	有序
插值查找	O(log2(log2n))	O(1)	有序
斐波那契查找	O(log2n)	O(1)	有序
哈希查找	O(1)	O(n)	無序或有序
二叉查找樹(二叉搜索樹查找)	O(log2n)
紅黑樹	O(log2n)
2-3樹	O(log2n - log3n)
B樹/B+樹	O(log2n)

1 順序查找

算法思路：

對于任意一個序列，從一端開始，順序掃描，依次將掃描到的結點關鍵字與給定值k相比較，若相等則表示查找成功；若掃描結束仍沒有找到關鍵字等于k的結點，表示查找失敗。

代碼：

#include
#include
#define keyType int
//2020.05.24
typedef struct
{
keyType key;//查找表中每個數據元素的值
}ElemType;
typedef struct
{
ElemType *elem;//存放查找表中數據元素的數組
int length;//記錄查找表中數據的總數量
}SSTable;
//創建查詢數據
void Create(SSTable **st,int length)
{
(*st)=(SSTable*)malloc(sizeof(SSTable));
(*st)->length=length;
(*st)->elem =(ElemType*)malloc((length+1)*sizeof(ElemType));
printf("輸入表中的數據元素：\n");
//根據查找表中數據元素的總長度，在存儲時，從數組下標為 1 的空間開始存儲數據
for (int i=1; i<=length; i++)
{
scanf("%d",&((*st)->elem[i].key));
}
}
//順序查找函數，其中key為要查找的元素
int Search_seq(SSTable *str,keyType key)
{
//str->elem[0].key=key;//將關鍵字作為一個數據元素存放到查找表的第一個位置，起監視哨的作用
int len = str->length;
//從最后一個數據元素依次遍歷，一直遍歷到數組下標為0
for(int i=1; i {
if(str->elem[i].key == key)
{
return i;
}
}
//如果 i=0，說明查找失敗；查找成功返回要查找元素key的位置i
return 0;
}
int main()
{
SSTable *str;
int num;
printf("請輸入創建數據元素的個數：\n");
scanf("%d",&num);
Create(&str, num);
getchar();
printf("請輸入要查找的數據：\n");
int key;
scanf("%d",&key);
int location=Search_seq(str, key);
if (location==0) {
printf("查找失敗");
}else{
printf("要查找的%d的順序為：%d",key,location);
}
return 0;
}

運行結果：

查找成功查找失敗

2 二分查找(折半查找)

算法思路：

確定查找范圍low=0，high=N-1，計算中項mid=(low+high)/2。

若mid==x或low>=high,則結束查找；否則，向下繼續。

若amidx，說明待查找的元素值只可能在比中項元素小的范圍內，則把mid-1的值賦給higt，并重新計算mid，轉去執行步驟2。

說明：

• 查找元素必須是有序的，如果是無序的則要先進行排序操作。

• 在做查找的過程中，如果 low 指針和 high 指針的中間位置在計算時位于兩個關鍵字中間，即求得 mid 的位置不是整數，需要統一做取整操作。

折半查找的前提條件是需要有序表順序存儲，對于靜態查找表，一次排序后不再變化，折半查找能得到不錯的效率。但對于需要頻繁執行插入或刪除操作的數據集來說，維護有序的排序會帶來不小的工作量，那就不建議使用。

——《大話數據結構》

代碼：

#include
#include
#define keyType int
typedef struct
{
keyType key;//查找表中每個數據元素的值
}ElemType;
typedef struct
{
ElemType *elem;//存放查找表中數據元素的數組
int length;//記錄查找表中數據的總數量
}SSTable;
//創建查詢數據
void Create(SSTable **st,int length)
{
(*st)=(SSTable*)malloc(sizeof(SSTable));
(*st)->length=length;
(*st)->elem =(ElemType*)malloc((length+1)*sizeof(ElemType));
printf("輸入表中的數據元素：\n");
//根據查找表中數據元素的總長度，在存儲時，從數組下標為 1 的空間開始存儲數據
for (int i=1; i<=length; i++)
{
scanf("%d",&((*st)->elem[i].key));
}
}
//折半查找函數 key為要查找的元素
int Search_Bin(SSTable *str,keyType key)
{
int low=1;//初始狀態 low 指針指向第一個關鍵字
int high=str->length;//high 指向最后一個關鍵字
int mid;
while (low<=high)
{
mid=(low+high)/2;//int 本身為整形，所以，mid 每次為取整的整數
if(str->elem[mid].key==key)//如果 mid 指向的同要查找的相等，返回 mid 所指向的位置
{
return mid;
}
else if(str->elem[mid].key>key)//如果mid指向的關鍵字較大，則更新 high 指針的位置
{
high=mid-1;
}
//反之，則更新 low 指針的位置
else
{
low=mid+1;
}
}
return 0;
}
int main()
{
SSTable *str;
int num;
printf("請輸入創建數據元素的個數：\n");
scanf("%d",&num);
Create(&str, num);
getchar();
printf("請輸入要查找的數據：\n");
int key;
scanf("%d",&key);
int location=Search_Bin(str, key);
if (location==0) {
printf("沒有查找到");
}else{
printf("要查找的%d的順序為：%d",key,location);
}
return 0;
}

運行結果：

查找成功沒有查找到

3 插值查找

插值查找基于二分查找算法，將查找點的選擇改進為自適應選擇，可以提高查找效率。當然，差值查找也屬于有序查找

算法思路：

確定查找范圍low=0，high=N-1，計算中項mid=low+(key-a[low])/(a[high]-a[low])*(high-low)。

若mid==x或low>=high,則結束查找；否則，向下繼續。

若amidx，說明待查找的元素值只可能在比中項元素小的范圍內，則把mid-1的值賦給higt，并重新計算mid，轉去執行步驟2。

說明：

• 插值查找是基于折半查找進行了優化的查找方法。
• 當表長較大，而關鍵字分布又比較均勻的查找表來說，插值查找算法的平均性能要比折半查找要好得多。

代碼：

#include
int array[10] = { 1, 4, 9, 16, 27, 31, 33, 35, 45, 64 };
int InsertionSearch(int data)
{
int low = 0;
int high = 10 - 1;
int mid = -1;
int comparisons = 1;
int index = -1;
while(low <= high)
{
printf("比較 %d 次\n" , comparisons );
printf("low : %d, list[%d] = %d\n", low, low, array[low]);
printf("high : %d, list[%d] = %d\n", high, high, array[high]);
comparisons++;
mid = low + (((double)(high - low) / (array[high] - array[low])) * (data - array[low]));
printf("mid = %d\n",mid);
// 沒有找到
if(array[mid] == data)
{
index = mid;
break;
}
else
{
if(array[mid] < data)
{
low = mid + 1;
}
else
{
high = mid - 1;
}
}
}
printf("比較次數: %d\n", --comparisons);
return index;
}
int main()
{
int location = InsertionSearch(27); //測試代，查27，可以找到
if(location != -1)
{
printf("查找元素順序為: %d\n" ,(location+1));
}
else
{
printf("沒有查找到");
}
return 0;
}

運行結果：

運行結果

4 斐波那契查找

斐波那契查找與折半查找很相似，他是根據斐波那契序列的特點對有序表進行分割的。他要求開始表中記錄的個數為某個斐波那契數小1，及n=F(k)-1；開始將k值與第F(k-1)位置的記錄進行比較(及mid=low+F(k-1)-1).

算法思路：

相等，mid位置的元素即為所求

大于，low=mid+1,k-=2;

小于，high=mid-1,k-=1。

說明：

low=mid+1說明待查找的元素在[mid+1,high]范圍內，k-=2 說明范圍[mid+1,high]內的元素個數為n-(F(k-1))= Fk-1-F(k-1)=Fk-F(k-1)-1=F(k-2)-1個，所以可以遞歸的應用斐波那契查找。

代碼：

#include "stdafx.h"
#include
#include
using namespace std;
const int max_size=20;//斐波那契數組的長度
/*構造一個斐波那契數組*/
void Fibonacci(int * F)
{
F[0]=0;
F[1]=1;
for(int i=2;i F[i]=F[i-1]+F[i-2];
}
/*定義斐波那契查找法*/
int FibonacciSearch(int *a, int n, int key) //a為要查找的數組,n為要查找的數組長度,key為要查找的關鍵字
{
int low=0;
int high=n-1;
int F[max_size];
Fibonacci(F);//構造一個斐波那契數組F
int k=0;
while(n>F[k]-1)//計算n位于斐波那契數列的位置
++k;
int * temp;//將數組a擴展到F[k]-1的長度
temp=new int [F[k]-1];
memcpy(temp,a,n*sizeof(int));
for(int i=n;i temp[i]=a[n-1];
while(low<=high)
{
int mid=low+F[k-1]-1;
if(key {
high=mid-1;
k-=1;
}
else if(key>temp[mid])
{
low=mid+1;
k-=2;
}
else
{
if(mid return mid; //若相等則說明mid即為查找到的位置
else
return n-1; //若mid>=n則說明是擴展的數值,返回n-1
}
}
delete [] temp;
return 0;
}
int main()
{
int a[] = {0,1,4,35,47,53,62,78,88,99};
int key=47;
int index=FibonacciSearch(a,sizeof(a)/sizeof(int),key);
if(index == 0)
{
cout< }
else
{
cout< }
return 0;
}

運行結果：

47的位置為5

5 哈希查找

哈希表：

我們使用一個下標范圍比較大的數組來存儲元素。可以設計一個函數(哈希函數， 也叫做散列函數)，使得每個元素的關鍵字都與一個函數值(即數組下標)相對應，于是用這個數組單元來存儲這個元素；也可以簡單的理解為，按照關鍵字為每一個元素"分類"，然后將這個元素存儲在相應"類"所對應的地方。但是，不能夠保證每個元素的關鍵字與函數值是一一對應的，因此極有可能出現對于不同的元素，卻計算出了相同的函數值，這樣就產生了"沖突"，換句話說，就是把不同的元素分在了相同的"類"之中。后面我們將看到一種解決"沖突"的簡便做法。

"直接定址"與"解決沖突"是哈希表的兩大特點。

哈希函數：

規則：通過某種轉換關系，使關鍵字適度的分散到指定大小的的順序結構中，越分散，則以后查找的時間復雜度越小，空間復雜度越高。

算法思路：

如果所有的鍵都是整數，那么就可以使用一個簡單的無序數組來實現：將鍵作為索引，值即為其對應的值，這樣就可以快速訪問任意鍵的值。這是對于簡單的鍵的情況，我們將其擴展到可以處理更加復雜的類型的鍵。

用給定的哈希函數構造哈希表；

根據選擇的沖突處理方法(常見方法：拉鏈法和線性探測法)解決地址沖突；

在哈希表的基礎上執行哈希查找；

代碼：

#include
#include
#define SUCCESS 1
#define UNSUCCESS 0
#define OVERFLOW -1
#define OK 1
#define ERROR -1
#define MAXNUM 9999 // 用于初始化哈希表的記錄 key
typedef int Status;
typedef int KeyType;
// 哈希表中的記錄類型
typedef struct
{
KeyType key;
}RcdType;
// 哈希表類型
typedef struct
{
RcdType *rcd;
int size;
int count;
int *tag;
}HashTable;
// 哈希表每次重建增長后的大小
int hashsize[] = { 11, 31, 61, 127, 251, 503 };
int index = 0;
// 初始哈希表
Status InitHashTable(HashTable &H, int size)
{
int i;
H.rcd = (RcdType *)malloc(sizeof(RcdType)*size);
H.tag = (int *)malloc(sizeof(int)*size);
if (NULL == H.rcd || NULL == H.tag) return OVERFLOW;
KeyType maxNum = MAXNUM;
for (i = 0; i < size; i++)
{
H.tag[i] = 0;
H.rcd[i].key = maxNum;
}
H.size = size;
H.count = 0;
return OK;
}
// 哈希函數：除留余數法
int Hash(KeyType key, int m)
{
return (3 * key) % m;
}
// 處理哈希沖突：線性探測
void collision(int &p, int m)
{
p = (p + 1) % m;
}
// 在哈希表中查詢
Status SearchHash(HashTable H, KeyType key, int &p, int &c)
{
p = Hash(key, H.size);
int h = p;
c = 0;
while ((1 == H.tag[p] && H.rcd[p].key != key) || -1 == H.tag[p])
{
collision(p, H.size); c++;
}
if (1 == H.tag[p] && key == H.rcd[p].key) return SUCCESS;
else return UNSUCCESS;
}
//打印哈希表
void printHash(HashTable H)
{
int i;
printf("key : ");
for (i = 0; i < H.size; i++)
printf("%3d ", H.rcd[i].key);
printf("\n");
printf("tag : ");
for (i = 0; i < H.size; i++)
printf("%3d ", H.tag[i]);
printf("\n\n");
}
// 函數聲明：插入哈希表
Status InsertHash(HashTable &H, KeyType key);
// 重建哈希表
Status recreateHash(HashTable &H)
{
RcdType *orcd;
int *otag, osize, i;
orcd = H.rcd;
otag = H.tag;
osize = H.size;
InitHashTable(H, hashsize[index++]);
//把所有元素，按照新哈希函數放到新表中
for (i = 0; i < osize; i++)
{
if (1 == otag[i])
{
InsertHash(H, orcd[i].key);
}
}
return OK;
}
// 插入哈希表
Status InsertHash(HashTable &H, KeyType key)
{
int p, c;
if (UNSUCCESS == SearchHash(H, key, p, c))
{ //沒有相同key
if (c*1.0 / H.size < 0.5)
{ //沖突次數未達到上線
//插入代碼
H.rcd[p].key = key;
H.tag[p] = 1;
H.count++;
return SUCCESS;
}
else recreateHash(H); //重構哈希表
}
return UNSUCCESS;
}
// 刪除哈希表
Status DeleteHash(HashTable &H, KeyType key)
{
int p, c;
if (SUCCESS == SearchHash(H, key, p, c))
{
//刪除代碼
H.tag[p] = -1;
H.count--;
return SUCCESS;
}
else return UNSUCCESS;
}
int main()
{
printf("-----哈希表-----\n");
HashTable H;
int i;
int size = 11;
KeyType array[8] = { 22, 41, 53, 46, 30, 13, 12, 67 };
KeyType key;
//初始化哈希表
printf("初始化哈希表\n");
if (SUCCESS == InitHashTable(H, hashsize[index++])) printf("初始化成功\n");
//插入哈希表
printf("插入哈希表\n");
for (i = 0; i <= 7; i++)
{
key = array[i];
InsertHash(H, key);
printHash(H);
}
//刪除哈希表
printf("刪除哈希表中key為12的元素\n");
int p, c;
if (SUCCESS == DeleteHash(H, 12))
{
printf("刪除成功，此時哈希表為：\n");
printHash(H);
}
//查詢哈希表
printf("查詢哈希表中key為67的元素\n");
if (SUCCESS == SearchHash(H, 67, p, c)) printf("查詢成功\n");
//再次插入，測試哈希表的重建
printf("再次插入，測試哈希表的重建：\n");
KeyType array1[8] = { 27, 47, 57, 47, 37, 17, 93, 67 };
for (i = 0; i <= 7; i++)
{
key = array1[i];
InsertHash(H, key);
printHash(H);
}
getchar();
return 0;
}

6 二叉樹查找

二叉查找樹是先對待查找的數據進行生成樹，確保樹的左分支的值小于右分支的值，然后在就行和每個節點的父節點比較大小，查找最適合的范圍。這個算法的查找效率很高，但是如果使用這種查找方法要首先創建樹。

算法思路：

若b是空樹，則搜索失敗：

若x等于b的根節點的數據域之值，則查找成功：

若x小于b的根節點的數據域之值，則搜索左子樹：

查找右子樹。

代碼：

遞歸和非遞歸

//非遞歸查找算法
BSTNode *BST_Search(BiTree T,ElemType key,BSTNode *&p)
{
//查找函數返回指向關鍵字值為key的結點指針，不存在則返回NULL
p=NULL;
while(T!=NULL&&key!=T->data)
{
p=T; //指向被查找結點的雙親
if(keydata)
T=T->lchild; //查找左子樹
else
T=T->rchild; //查找右子樹
}
return T;
}
//遞歸算法
Status Search_BST(BiTree T, int key, BiTree f, BiTree *p)
{
//查找BST中是否存在key，f指向T雙親，其初始值為NULL
//若查找成功，指針p指向數據元素結點，返回true；
//若失敗，p指向查找路徑上訪問的最后一個結點并返回false
if(!T)
{
*p=f;
return false;
}
else if(key==T->data)
{ //查找成功
*p=T;
return true;
}
else if(keydata)
return Search_BST(T->lchild,key,T,p); //遞歸查找左子樹
else
return Search_BST(T->rchild,key,T,p); //遞歸查找右子樹
}

7 2-3樹

2-3樹運行每個節點保存1個或者兩個的值。對于普通的2節點(2-node)，他保存1個key和左右兩個自己點。對應3節點(3-node)，保存兩個Key，2-3查找樹的定義如下：

要么為空，要么：

對于2節點，該節點保存一個key及對應value，以及兩個指向左右節點的節點，左節點也是一個2-3節點，所有的值都比key要小，右節點也是一個2-3節點，所有的值比key要大。

對于3節點，該節點保存兩個key及對應value，以及三個指向左中右的節點。左節點也是一個2-3節點，所有的值均比兩個key中的最小的key還要小；中間節點也是一個2-3節點，中間節點的key值在兩個跟節點key值之間；右節點也是一個2-3節點，節點的所有key值比兩個key中的最大的key還要大。

算法思路:

要判斷一個鍵是否在樹中，我們先將它和根結點中的鍵比較。如果它和其中的任何一個相等，查找命中。否則我們就根據比較的結果找到指向相應區間的鏈接，并在其指向的子樹中遞歸地繼續查找。如果這是個空鏈接，查找未命中。

2-3 樹中查找鍵為H的節點2-3 樹中查找鍵為B的節點

代碼：

two_three *search23(two_three *t, element x)
{
while(t)
{
if (x < t->data_l)
{
t = t->left_child;
}
else if (x > t->data_l && x < t->data_r)
{
t = t->middle_child;
}
else if (x > t->data_r)
{
t = t->right_child;
}
else
{
return t;
}
}
return NULL;
}

8 紅黑樹

2-3查找樹能保證在插入元素之后能保持樹的平衡狀態，最壞情況下即所有的子節點都是2-node，樹的高度為lgn，從而保證了最壞情況下的時間復雜度。但是2-3樹實現起來比較復雜，于是就有了一種簡單實現2-3樹的數據結構，即紅黑樹(Red-Black Tree)。

理解紅黑樹一句話就夠了：紅黑樹就是用紅鏈接表示3-結點的2-3樹。

現在我們對2-3樹進行改造，改造成一個二叉樹。怎么改造呢？對于2節點，保持不變；對于3節點，我們首先將3節點中左側的元素標記為紅色，然后我們將其改造成圖3的形式；

再將3節點的位于中間的子節點的父節點設置為父節點中那個紅色的節點，如圖4的所示；最后我們將圖4的形式改為二叉樹的樣子，如圖5所示。圖5是不是很熟悉，沒錯，這就是我們常常提到的大名鼎鼎的紅黑樹了。如下圖所示。

2-3樹轉紅黑樹

為什么使用紅黑樹：

• 紅黑樹是一種平衡樹，他復雜的定義和規則都是為了保證樹的平衡性。如果樹不保證他的平衡性就是下圖：很顯然這就變成一個鏈表了。
• 保證平衡性的最大的目的就是降低樹的高度，因為樹的查找性能取決于樹的高度。所以樹的高度越低搜索的效率越高！
• 這也是為什么存在二叉樹、搜索二叉樹等，各類樹的目的。

紅黑樹性質：

• 每個節點要么是黑色，要么是紅色。
• 根節點是黑色。
• 每個葉子節點(NIL)是黑色。
• 每個紅色結點的兩個子結點一定都是黑色。
• 任意一結點到每個葉子結點的路徑都包含數量相同的黑結點。

算法思路：

紅黑樹的思想就是對2-3查找樹進行編碼，尤其是對2-3查找樹中的3-nodes節點添加額外的信息。紅黑樹中將節點之間的鏈接分為兩種不同類型，紅色鏈接，他用來鏈接兩個2-nodes節點來表示一個3-nodes節點。黑色鏈接用來鏈接普通的2-3節點。特別的，使用紅色鏈接的兩個2-nodes來表示一個3-nodes節點，并且向左傾斜，即一個2-node是另一個2-node的左子節點。這種做法的好處是查找的時候不用做任何修改，和普通的二叉查找樹相同。

代碼：

#define BLACK 1
#define RED 0
#include
using namespace std;
class bst
{
private:
struct Node
{
int value;
bool color;
Node *leftTree, *rightTree, *parent;
Node() : value(0), color(RED), leftTree(NULL), rightTree(NULL), parent(NULL) { }
Node* grandparent()
{
if (parent == NULL)
{
return NULL;
}
return parent->parent;
}
Node* uncle()
{
if (grandparent() == NULL)
{
return NULL;
}
if (parent == grandparent()->rightTree)
return grandparent()->leftTree;
else
return grandparent()->rightTree;
}
Node* sibling()
{
if (parent->leftTree == this)
return parent->rightTree;
else
return parent->leftTree;
}
};
void rotate_right(Node *p)
{
Node *gp = p->grandparent();
Node *fa = p->parent;
Node *y = p->rightTree;
fa->leftTree = y;
if (y != NIL)
y->parent = fa;
p->rightTree = fa;
fa->parent = p;
if (root == fa)
root = p;
p->parent = gp;
if (gp != NULL)
{
if (gp->leftTree == fa)
gp->leftTree = p;
else
gp->rightTree = p;
}
}
void rotate_left(Node *p)
{
if (p->parent == NULL)
{
root = p;
return;
}
Node *gp = p->grandparent();
Node *fa = p->parent;
Node *y = p->leftTree;
fa->rightTree = y;
if (y != NIL)
y->parent = fa;
p->leftTree = fa;
fa->parent = p;
if (root == fa)
root = p;
p->parent = gp;
if (gp != NULL)
{
if (gp->leftTree == fa)
gp->leftTree = p;
else
gp->rightTree = p;
}
}
void inorder(Node *p)
{
if (p == NIL)
return;
if (p->leftTree)
inorder(p->leftTree);
cout << p->value << " ";
if (p->rightTree)
inorder(p->rightTree);
}
string outputColor(bool color)
{
return color ? "BLACK" : "RED";
}
Node* getSmallestChild(Node *p)
{
if (p->leftTree == NIL)
return p;
return getSmallestChild(p->leftTree);
}
bool delete_child(Node *p, int data)
{
if (p->value > data)
{
if (p->leftTree == NIL)
{
return false;
}
return delete_child(p->leftTree, data);
}
else if (p->value < data)
{
if (p->rightTree == NIL)
{
return false;
}
return delete_child(p->rightTree, data);
}
else if (p->value == data)
{
if (p->rightTree == NIL)
{
delete_one_child(p);
return true;
}
Node *smallest = getSmallestChild(p->rightTree);
swap(p->value, smallest->value);
delete_one_child(smallest);
return true;
}
else
{
return false;
}
}
void delete_one_child(Node *p)
{
Node *child = p->leftTree == NIL ? p->rightTree : p->leftTree;
if (p->parent == NULL && p->leftTree == NIL && p->rightTree == NIL)
{
p = NULL;
root = p;
return;
}
if (p->parent == NULL)
{
delete p;
child->parent = NULL;
root = child;
root->color = BLACK;
return;
}
if (p->parent->leftTree == p)
{
p->parent->leftTree = child;
}
else
{
p->parent->rightTree = child;
}
child->parent = p->parent;
if (p->color == BLACK)
{
if (child->color == RED)
{
child->color = BLACK;
}
else
delete_case(child);
}
delete p;
}
void delete_case(Node *p)
{
if (p->parent == NULL)
{
p->color = BLACK;
return;
}
if (p->sibling()->color == RED)
{
p->parent->color = RED;
p->sibling()->color = BLACK;
if (p == p->parent->leftTree)
rotate_left(p->sibling());
else
rotate_right(p->sibling());
}
if (p->parent->color == BLACK && p->sibling()->color == BLACK
&& p->sibling()->leftTree->color == BLACK && p->sibling()->rightTree->color == BLACK)
{
p->sibling()->color = RED;
delete_case(p->parent);
}
else if (p->parent->color == RED && p->sibling()->color == BLACK
&& p->sibling()->leftTree->color == BLACK && p->sibling()->rightTree->color == BLACK)
{
p->sibling()->color = RED;
p->parent->color = BLACK;
}
else
{
if (p->sibling()->color == BLACK)
{
if (p == p->parent->leftTree && p->sibling()->leftTree->color == RED
&& p->sibling()->rightTree->color == BLACK)
{
p->sibling()->color = RED;
p->sibling()->leftTree->color = BLACK;
rotate_right(p->sibling()->leftTree);
}
else if (p == p->parent->rightTree && p->sibling()->leftTree->color == BLACK
&& p->sibling()->rightTree->color == RED)
{
p->sibling()->color = RED;
p->sibling()->rightTree->color = BLACK;
rotate_left(p->sibling()->rightTree);
}
}
p->sibling()->color = p->parent->color;
p->parent->color = BLACK;
if (p == p->parent->leftTree)
{
p->sibling()->rightTree->color = BLACK;
rotate_left(p->sibling());
}
else
{
p->sibling()->leftTree->color = BLACK;
rotate_right(p->sibling());
}
}
}
void insert(Node *p, int data)
{
if (p->value >= data)
{
if (p->leftTree != NIL)
insert(p->leftTree, data);
else
{
Node *tmp = new Node();
tmp->value = data;
tmp->leftTree = tmp->rightTree = NIL;
tmp->parent = p;
p->leftTree = tmp;
insert_case(tmp);
}
}
else
{
if (p->rightTree != NIL)
insert(p->rightTree, data);
else
{
Node *tmp = new Node();
tmp->value = data;
tmp->leftTree = tmp->rightTree = NIL;
tmp->parent = p;
p->rightTree = tmp;
insert_case(tmp);
}
}
}
void insert_case(Node *p)
{
if (p->parent == NULL)
{
root = p;
p->color = BLACK;
return;
}
if (p->parent->color == RED)
{
if (p->uncle()->color == RED)
{
p->parent->color = p->uncle()->color = BLACK;
p->grandparent()->color = RED;
insert_case(p->grandparent());
}
else
{
if (p->parent->rightTree == p && p->grandparent()->leftTree == p->parent)
{
rotate_left(p);
rotate_right(p);
p->color = BLACK;
p->leftTree->color = p->rightTree->color = RED;
}
else if (p->parent->leftTree == p && p->grandparent()->rightTree == p->parent)
{
rotate_right(p);
rotate_left(p);
p->color = BLACK;
p->leftTree->color = p->rightTree->color = RED;
}
else if (p->parent->leftTree == p && p->grandparent()->leftTree == p->parent)
{
p->parent->color = BLACK;
p->grandparent()->color = RED;
rotate_right(p->parent);
}
else if (p->parent->rightTree == p && p->grandparent()->rightTree == p->parent)
{
p->parent->color = BLACK;
p->grandparent()->color = RED;
rotate_left(p->parent);
}
}
}
}
void DeleteTree(Node *p)
{
if (!p || p == NIL)
{
return;
}
DeleteTree(p->leftTree);
DeleteTree(p->rightTree);
delete p;
}
public:
bst()
{
NIL = new Node();
NIL->color = BLACK;
root = NULL;
}
~bst()
{
if (root)
DeleteTree(root);
delete NIL;
}
void inorder()
{
if (root == NULL)
return;
inorder(root);
cout << endl;
}
void insert(int x)
{
if (root == NULL)
{
root = new Node();
root->color = BLACK;
root->leftTree = root->rightTree = NIL;
root->value = x;
}
else
{
insert(root, x);
}
}
bool delete_value(int data)
{
return delete_child(root, data);
}
private:
Node *root, *NIL;
};
int main()
{
cout << "---【紅黑樹】---" << endl;
// 創建紅黑樹
bst tree;
// 插入元素
tree.insert(2);
tree.insert(9);
tree.insert(-10);
tree.insert(0);
tree.insert(33);
tree.insert(-19);
// 順序打印紅黑樹
cout << "插入元素后的紅黑樹：" << endl;
tree.inorder();
// 刪除元素
tree.delete_value(2);
// 順序打印紅黑樹
cout << "刪除元素 2 后的紅黑樹：" << endl;
tree.inorder();
// 析構
tree.~bst();
getchar();
return 0;
}

9 B樹/B+樹

在計算機科學中，B樹(B-tree)是一種樹狀數據結構，它能夠存儲數據、對其進行排序并允許以O(log n)的時間復雜度運行進行查找、順序讀取、插入和刪除的數據結構。B樹，概括來說是一個節點可以擁有多于2個子節點的二叉查找樹。與自平衡二叉查找樹不同，B-樹為系統最優化大塊數據的讀和寫操作。B-tree算法減少定位記錄時所經歷的中間過程，從而加快存取速度。普遍運用在數據庫和文件系統。

——維基百科

B 樹可以看作是對2-3查找樹的一種擴展，即他允許每個節點有M-1個子節點。

• 定義任意非葉子結點最多只有M個兒子；且M>2；
• 根結點的兒子數為[2, M]；
• 除根結點以外的非葉子結點的兒子數為[M/2, M]；
• 每個結點存放至少M/2-1(取上整)和至多M-1個關鍵字；(至少2個關鍵字)
• 非葉子結點的關鍵字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]；
• 非葉子結點的指針：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向關鍵字小于K[1]的 子樹，P[M]指向關鍵字大于K[M-1]的子樹，其它P[i]指向關鍵字屬于(K[i-1], K[i])的子樹；
• 所有葉子結點位于同一層；

如：(M=3)

算法思路：

從根結點開始，對結點內的關鍵字(有序)序列進行二分查找，如果命中則結束，否則進入查詢關鍵字所屬范圍的兒子結點；重復，直到所對應的兒子指針為空，或已經是葉子結點；

• 關鍵字集合分布在整顆樹中；
• 任何一個關鍵字出現且只出現在一個結點中；
• 搜索有可能在非葉子結點結束；
• 其搜索性能等價于在關鍵字全集內做一次二分查找；
• 自動層次控制；

代碼：

BTNode* BTree_recursive_search(const BTree tree, KeyType key, int* pos)
{
int i = 0;
while (i < tree->keynum && key > tree->key[i])
{
++i;
}

// 查找關鍵字
if (i < tree->keynum && tree->key[i] == key)
{
*pos = i;
return tree;
}

// tree 為葉子節點，找不到 key，查找失敗返回
if (tree->isLeaf)
{
return NULL;
}

// 節點內查找失敗，但 tree->key[i - 1]< key < tree->key[i]，
// 下一個查找的結點應為 child[i]

// 從磁盤讀取第 i 個孩子的數據
disk_read(&tree->child[i]);

// 遞歸地繼續查找于樹 tree->child[i]
return BTree_recursive_search(tree->child[i], key, pos);
}

B+樹：

B+樹是B樹的變體，也是一種多路搜索樹：

其定義基本與B-樹同，除了：

• 非葉子結點的子樹指針與關鍵字個數相同；
• 非葉子結點的子樹指針P[i]，指向關鍵字值屬于[K[i], K[i+1])的子樹, B樹是開區間
• 為所有葉子結點增加一個鏈指針;
• 所有關鍵字都在葉子結點出現；

如:(M=3)

1

算法思路：

B+的搜索與B樹也基本相同，區別是B+樹只有達到葉子結點才命中(B樹可以在 非葉子結點命中)，其性能也等價于在關鍵字全集做一次二分查找；

• 所有關鍵字都出現在葉子結點的鏈表中(稠密索引)，且鏈表中的關鍵字恰好是有序的；
• 不可能在非葉子結點命中；
• 非葉子結點相當于是葉子結點的索引(稀疏索引)，葉子結點相當于是存儲(關鍵字)數據的數據層；
• 更適合文件索引系統；

參考資料

https://www.sohu.com/a/296278527_478315

https://www.cnblogs.com/exzlc/p/12203744.htm

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總結

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