概念

最小二乘法多項式曲線擬合，根據給定的m個點,并不要求這條曲線精確地經過這些點，而是曲線y=f(x)的近似曲線y= φ(x)。

原理

給定數據點pi(xi,yi)，其中i=1,2,…,m。求近似曲線y= φ(x)。并且使得近似曲線與y=f(x)的偏差最小。近似曲線在點pi處的偏差δi= φ(xi)-y，i=1,2,...,m。

常見的曲線擬合方法:

1.使偏差絕對值之和最小

2.使偏差絕對值最大的最小

3.使偏差平方和最小

按偏差平方和最小的原則選取擬合曲線，并且采取二項式方程為擬合曲線的方法,稱為最小二乘法。

推導過程：

1.?設擬合多項式為：

2.?各點到這條曲線的距離之和，即偏差平方和如下：

3.?為了求得符合條件的a值，對等式右邊求ai偏導數，因而我們得到了：

.......

4.?將等式左邊進行一下化簡，然后應該可以得到下面的等式：

.......

5.?把這些等式表示成矩陣的形式，就可以得到下面的矩陣：

6.?將這個范德蒙得矩陣化簡后可得到:

7.?也就是說X*A=Y，那么A = (X'*X)-1*X'*Y，便得到了系數矩陣A，同時，我們也就得到了擬合曲線。

利用最小二乘法原則上解決了最小乘法意義下的曲線擬合問題，但在實際問題的解決時，n往往很大，法方程往往是病態的，因而給求解帶來了一定的困難，為了解決這一問題，近年來，產生了一些新的方法來克服這一困難，利用正交函數(正交多項式)作多項式的擬合。

總結

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