最基本的問(wèn)題,以用戶(hù)電影評(píng)分為例,也就是這個(gè)用戶(hù)-電影矩陣.

表中是用戶(hù)多電影的評(píng)分,但評(píng)分有缺失,因?yàn)橛脩?hù)不可能對(duì)所有電影作出評(píng)價(jià).

那么推薦問(wèn)題就是給用戶(hù)合理推薦一個(gè)沒(méi)看過(guò)的電影,合理是指,預(yù)測(cè)用戶(hù)應(yīng)該對(duì)這部電影評(píng)分較高.然后這個(gè)問(wèn)題就變成了矩陣補(bǔ)全,也就是填充表中的問(wèn)號(hào).

低秩矩陣分解

矩陣的補(bǔ)全有無(wú)數(shù)種可能,所以如果不對(duì)用戶(hù)-電影矩陣(記為Y)的性質(zhì)作出一定假設(shè),那這個(gè)恢復(fù)問(wèn)題就不可能完成.所以首先作出的假設(shè)是Y是低秩的.如果Y是低秩的,那么Y就能夠由兩個(gè)較小的矩陣線(xiàn)性組合而來(lái).即:

假設(shè)Y矩陣維度\(n_m \times n_u\),即有\(zhòng)(n_m\)部電影和\(n_u\)個(gè)用戶(hù),P的維度是\(n_m \times K\), Q的維度是\(n_u \times K\),K是特征的維度,也就是Y的秩.上式如果畫(huà)出來(lái)就是這樣.

這表示了一個(gè)電影對(duì)應(yīng)一個(gè)K維特征,一個(gè)用戶(hù)對(duì)應(yīng)了K個(gè)參數(shù),反映出有用戶(hù)對(duì)電影的K維特征的喜好程度.然后每個(gè)評(píng)分都可以看做是用戶(hù)參數(shù)和電影特征的點(diǎn)積.試想如果我們得到了P和Q兩個(gè)矩陣,我們就能對(duì)Y矩陣中的缺失值進(jìn)行預(yù)測(cè).

以上問(wèn)題可以用梯度下降來(lái)求解,因?yàn)槲覀兛梢詷?gòu)造誤差函數(shù),并能計(jì)算偏導(dǎo).

這個(gè)誤差函數(shù)的意義是對(duì)于Y矩陣中存在的值,用P和Q乘積計(jì)算出預(yù)測(cè)值,讓它們之間誤差最小.當(dāng)然,還加入了針對(duì)P和Q的L2正則項(xiàng).這個(gè)誤差函數(shù)對(duì)P和Q中每一項(xiàng)的偏導(dǎo)如下:

然后迭代求解即可.

協(xié)同過(guò)濾

這個(gè)算法本質(zhì)上和低秩矩陣分解一樣,但它里面的K維特征具有現(xiàn)實(shí)意義.一個(gè)電影的K維特征,就是它對(duì)應(yīng)于K種電影風(fēng)格的分量,比如只有兩種風(fēng)格的時(shí)候:

設(shè)一個(gè)電影的k維特征向量為\(x = [x_1, x_2,…, x_k]\),那么就應(yīng)該存在一個(gè)用戶(hù)參數(shù)向量\(\theta = [\theta_1,\theta_1,…,\theta_k,]\).這實(shí)際上和矩陣分解里的P和Q意義相同.

但實(shí)際情況是,這個(gè)電影特征無(wú)法得到,還是要通過(guò)迭代算出來(lái).針對(duì)電影特征和用戶(hù)參數(shù),對(duì)應(yīng)了兩個(gè)代價(jià)函數(shù).

再分別求導(dǎo),用梯度下降迭代至收斂即可.

核范數(shù)矩陣補(bǔ)全

這個(gè)方法的來(lái)源是一幫搞圖像的科學(xué)家.圖像恢復(fù)里經(jīng)常有這種問(wèn)題,比如圖像被隨機(jī)采樣,試圖從隨機(jī)采樣的圖像恢復(fù)出原圖.

首先它將問(wèn)題定義為,認(rèn)為用戶(hù)-電影矩陣是由一個(gè)完全矩陣A下采樣而來(lái),而且還加上了噪音.L就是那個(gè)下采樣變換.

然后問(wèn)題的解就是要求秩最小,如下:

但直接去優(yōu)化秩太困難了,于是換成了核范數(shù),核范數(shù)就是矩陣的奇異值之和.

總結(jié)

這三種方法很類(lèi)似,就是做出了Y矩陣低秩的假設(shè).

前幾天看了一篇文章推薦系統(tǒng)的那點(diǎn)事,覺(jué)得這些算法其實(shí)沒(méi)多大用,雖然解決的是推薦系統(tǒng)的基本問(wèn)題,但現(xiàn)實(shí)情況不是這么簡(jiǎn)單.

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的低秩矩阵补全算法matlab实现,推荐系统中的矩阵补全算法的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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