同一坐標系下的點旋轉變換（如圖1所示）和不同坐標系之間的旋轉變換（如圖2所示），一直困擾著我，它們是兩個不同的概念，但形式上有很相似，以二維空間為例做了下推導，加深理解。

同一坐標系下的點旋轉變換，比較好理解，是在相同的坐標系下做的旋轉變換。如圖3所示，已知逆時針的旋轉角度為θ，我們引入中間變量向量的長度r和水平夾角α，顯而易見地，推導公式如下：

x=rcos(θ+α)=rcos(θ)cos(α)?rsin(θ)sin(α)=x′cos(θ)?x′sin(θ)x=rcos(θ+α)=rcos(θ)cos(α)?rsin(θ)sin(α)=x′cos(θ)?x′sin(θ)
y=rsin(θ+α)=rsin(θ)cos(α)+rcos(θ)sin(α)=x′sin(θ)+x′cos(θ)y=rsin(θ+α)=rsin(θ)cos(α)+rcos(θ)sin(α)=x′sin(θ)+x′cos(θ)?

[xy]=[cos(θ)sin(θ)?sin(θ)cos(θ)][x′y′][xy]=[cos(θ)?sin(θ)sin(θ)cos(θ)][x′y′]

齊次坐標系的表達為：

???xy1???=???cos(θ)sin(θ)0?sin(θ)cos(θ)0001??????x′y′1???[xy1]=[cos(θ)?sin(θ)0sin(θ)cos(θ)0001][x′y′1]

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不同坐標系之間的旋轉變換，這是透視變換中常用到的，它的作用是將一個點從一個坐標系統映射到另一個坐標系統下，這在將世界坐標系統映射到相機坐標系統中是很有用的。如圖4所示，已知坐標系O'X'Y'相對于OXY坐標系逆時針的旋轉角度為θ，O'X'Y'的坐標原點O'相對于OXY的坐標為(x0,y0)，我們引入中間變量向量的長度r和水平夾角α。變換的思路是，先對O'X'Y'坐標系旋轉θ，然后在平移(x0,y0)。推導過程如下：

x=rcos(θ+α)+x0=rcos(θ)cos(α)?rsin(θ)sin(α)=x′cos(θ)?x′sin(θ)+x0x=rcos(θ+α)+x0=rcos(θ)cos(α)?rsin(θ)sin(α)=x′cos(θ)?x′sin(θ)+x0
y=rsin(θ+α)+y0=rsin(θ)cos(α)+rcos(θ)sin(α)=x′sin(θ)+x′cos(θ)+y0y=rsin(θ+α)+y0=rsin(θ)cos(α)+rcos(θ)sin(α)=x′sin(θ)+x′cos(θ)+y0

[xy]=[cos(θ)sin(θ)?sin(θ)cos(θ)][x′y′]+[x0y0][xy]=[cos(θ)?sin(θ)sin(θ)cos(θ)][x′y′]+[x0y0]

?齊次坐標系的表達為：?

[xy]=???cos(θ)sin(θ)0?sin(θ)cos(θ)0x0y01??????x′y′1???[xy]=[cos(θ)?sin(θ)x0sin(θ)cos(θ)y0001][x′y′1]

?注意齊次坐標的作用是把旋轉縮放和平移結合起來，在傳統的歐幾里得空間中是做不到的，需要在投影空間中的齊次坐標系統下完成。

同理可以擴展到三維空間。OXYZ坐標系統可以看作是相機坐標系統，O'X'Y'Z'可以看做世界坐標系統，

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參考資料：

[1].矩陣的坐標變換(轉)（里面介紹了矩陣的旋轉縮放，還有推導過程，強烈推薦★★★★★）

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最直觀的理解可以從下圖得到：

總結

以上是生活随笔為你收集整理的坐标变换的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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