数据结构与算法 | 图（Graph）
在這之前已經(jīng)寫了數(shù)組、鏈表、二叉樹、棧、隊(duì)列等數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，本篇一起探究一個(gè)新的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：圖（Graphs ）。在二叉樹里面有著節(jié)點(diǎn)（node）的概念，每個(gè)節(jié)點(diǎn)里面包含左、右兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)指針；比對(duì)于圖來(lái)說(shuō)同樣有著節(jié)點(diǎn)（node），在圖里也稱為頂點(diǎn)（vertex），頂點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)不在局限于2個(gè)（左、右），一個(gè)頂點(diǎn)可以與任意（0-n個(gè)）個(gè)頂點(diǎn)進(jìn)行鏈接，這稱之為邊（edge）。 一般會(huì)把一個(gè)圖里面頂點(diǎn)的集合記作 V ，圖里面邊的集合記作 E，圖也就用 G(V,E) 來(lái)表示。
對(duì)比二叉樹可以看到圖的約束更少，換一個(gè)角度看二叉樹結(jié)構(gòu)是圖的特殊形式，所謂特殊形式指加上更多的限定條件。
圖的分類（Types Of Graph）
可以看到圖的基本的結(jié)構(gòu)非常簡(jiǎn)單，約束也很少，如果在其中加上各種條件約束就可以定義各種類型的圖。
- 約束邊或者頂點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)分類：
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零圖（Null graph）：只有頂點(diǎn)沒(méi)有邊的圖； -
平凡圖(Trivial graph)：只有一個(gè)頂點(diǎn)的圖；
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- 按照邊是否有指向來(lái)分類：
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有向圖（Directed Graph）：在每個(gè)邊的定義中，節(jié)點(diǎn)都是有序的對(duì)。也就是（A，B）與（B，A）表示不同的邊，一個(gè)代表從A到B方向的邊，一個(gè)代表從B到A方向的邊。 -
無(wú)向圖（Undirected Graph）：邊只是代表鏈接，沒(méi)有指向性。（A，B）與（B，A）表示的同樣的邊。
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- 根據(jù)是否在邊上存儲(chǔ)數(shù)據(jù)分類：
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權(quán)重圖（Weighted Graph）：圖中的邊上附加了權(quán)重或值的圖。這些權(quán)重表示連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的距離、代價(jià)、容量或其他度量。權(quán)重可以是任何數(shù)值，通常用于描述節(jié)點(diǎn)間的關(guān)系特性。
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還有很多分類在此不一一羅列。每類圖可能還會(huì)有其獨(dú)特的一些特征描述，比如有向圖（Directed Graph）里面，以某頂點(diǎn)作為開始的邊的數(shù)量稱為這個(gè)頂點(diǎn)的入度（Indegree），以某個(gè)頂點(diǎn)作為結(jié)束的邊的數(shù)量稱為這個(gè)頂點(diǎn)的出度（Outdegree）等等。
通過(guò)以上描述，可以感受到圖其實(shí)是非常靈活的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，同時(shí)它的衍生概念也非常多；初次探究大可不必一一記牢，有個(gè)基本的圖結(jié)構(gòu)知識(shí)體系即可，后續(xù)遇到的時(shí)候再擴(kuò)充圖的知識(shí)體系更為合適。
圖的表達(dá)（Representation of Graphs）
圖的表達(dá)其實(shí)也有多種形式，不過(guò)最基本的形式是：鄰接矩陣（Adjacency Matrix） 與 鄰接表（Adjacency List）
鄰接矩陣（Adjacency Matrix）
鄰接矩陣，所謂“矩陣”具體到代碼其實(shí)就是二維數(shù)組，通過(guò)二維數(shù)組來(lái)表示圖中頂點(diǎn)之間的邊的關(guān)系。二維數(shù)組中的行和列分別代表圖中的頂點(diǎn)，矩陣中的值表示頂點(diǎn)之間是否相連或連接的邊的權(quán)重。
且用這種方式來(lái)表示先前示例的圖結(jié)構(gòu)，矩陣的值 0代表無(wú)相連邊，1代表有相連邊。如下：
鄰接表（Adjacency List）
鄰接表，所謂“表”指的就是列表 List ，圖中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的列表，用于存儲(chǔ)與該節(jié)點(diǎn)直接相連的其他節(jié)點(diǎn)的信息。鄰接表中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)列表包含了該節(jié)點(diǎn)相鄰節(jié)點(diǎn)的標(biāo)識(shí)符或指針等信息。對(duì)于無(wú)權(quán)圖，通常使用數(shù)組或鏈表來(lái)存儲(chǔ)相鄰節(jié)點(diǎn)的標(biāo)識(shí)符。而對(duì)于帶權(quán)圖，列表中可能還包含了邊的權(quán)重信息。
基本應(yīng)用示例（Basic Examples）
Leetcode 997. 找到小鎮(zhèn)的法官【簡(jiǎn)單】
小鎮(zhèn)里有 n 個(gè)人，按從 1 到 n 的順序編號(hào)。傳言稱，這些人中有一個(gè)暗地里是小鎮(zhèn)法官。
如果小鎮(zhèn)法官真的存在，那么：
小鎮(zhèn)法官不會(huì)信任任何人。
每個(gè)人（除了小鎮(zhèn)法官）都信任這位小鎮(zhèn)法官。
只有一個(gè)人同時(shí)滿足屬性 1 和屬性 2 。
給你一個(gè)數(shù)組 trust ，其中 trusti = ai, bi 表示編號(hào)為 ai 的人信任編號(hào)為 bi 的人。
如果小鎮(zhèn)法官存在并且可以確定他的身份，請(qǐng)返回該法官的編號(hào)；否則，返回 -1 。
示例
輸入：n = 2, trust = [1,2]
輸出：2
題目故事背景描述比較多，可以看到 信任的表述 可以用有向圖的邊來(lái)表示，每個(gè)人 用頂點(diǎn) 來(lái)表示，小鎮(zhèn)法官的第1點(diǎn) 代表就是出度為 0，第2點(diǎn) 代表就是 入度為 n-1。 這樣題目就轉(zhuǎn)換為：判斷一個(gè)n個(gè)頂點(diǎn)的有向圖中 是否存在出度為0，入度為n-1的頂點(diǎn) ；存在返回頂點(diǎn)編號(hào)，不存在返回 -1。
PS：關(guān)鍵點(diǎn)，將復(fù)雜描述的題目，建模成為圖
public int findJudge(int n, int[][] trust) {
int[] outDegree = new int[n+1],inDegree = new int[n+1];
for(int i = 0; i < trust.length; i++){
outDegree[trust[i][0]] ++;
inDegree[trust[i][1]]++;
}
for(int i=1; i<= n; i++)
if(outDegree[i] == 0 && inDegree[i] == (n-1))
return i;
return -1;
}
Leetcode 787. K 站中轉(zhuǎn)內(nèi)最便宜的航班【中等】
有 n 個(gè)城市通過(guò)一些航班連接。給你一個(gè)數(shù)組 flights ，其中 flightsi = fromi, toi, pricei ，表示該航班都從城市 fromi 開始，以價(jià)格 pricei 抵達(dá) toi。
現(xiàn)在給定所有的城市和航班，以及出發(fā)城市 src 和目的地 dst，你的任務(wù)是找到出一條最多經(jīng)過(guò) k 站中轉(zhuǎn)的路線，使得從 src 到 dst 的 價(jià)格最便宜 ，并返回該價(jià)格。 如果不存在這樣的路線，則輸出 -1。
示例
輸入: n = 3, edges = [0,1,100,1,2,100,0,2,500]，src = 0, dst = 2, k = 1
輸出: 200
備注：1 <= n <= 100，航班沒(méi)有重復(fù)，且不存在自環(huán)
將城市看作是頂點(diǎn)，城市-城市之間的航班看作是 有向圖邊，航班的價(jià)格作為邊的權(quán)重，也就完成了題意到圖的建模。考慮到，城市數(shù)量 n < 100, 因此可以采用 鄰接矩陣的方式來(lái)進(jìn)行圖的表達(dá)。
public int findCheapestPrice(int n, int[][] flights, int src, int dst, int k) {
// 圖 初始化建模
int[][] map = new int[n][n];
for(int i = 0; i < flights.length; i++){
map[flights[i][0]][flights[i][1]] = flights[i][2];
}
// 其他邏輯
}
以 src 作為 源頂點(diǎn)，通過(guò)以 src作為 起始頂點(diǎn)的邊 鏈接到更多的頂點(diǎn)（此時(shí)經(jīng)過(guò) 0個(gè)站中轉(zhuǎn)）；以這些鏈接到的頂點(diǎn) 為起始點(diǎn)，繼續(xù)鏈接到更多的頂點(diǎn)（經(jīng)過(guò) 1個(gè)站中轉(zhuǎn)）；繼而可以推導(dǎo)到 經(jīng)過(guò) n 個(gè)站中轉(zhuǎn)。這也就是典型的廣度優(yōu)先搜索（BFS），來(lái)遍歷以src作為 源頂點(diǎn)的圖，遍歷代碼如下：
public int findCheapestPrice(int n, int[][] flights, int src, int dst, int k) {
// ...
// BFS
Deque<Integer> que = new ArrayDeque<>();
// src 作為起始點(diǎn)
que.offer(src);
// 經(jīng)過(guò) k 個(gè)中轉(zhuǎn)站
for(int i = 0; i <= k && !que.isEmpty(); i++){
int size = que.size();
while( size-- > 0){
int node = que.poll();
for(int j = 0; j < map[node].length; j++){
// map[node][j] == 0 代表 node -> 不相連跳過(guò)
if( map[node][j] == 0) continue;
// ... 這里可以加入遍歷過(guò)程中更多的邏輯
// 進(jìn)入下一輪遍歷
que.offer(j);
}
}
}
// ...
}
考慮題目需要的是 最多經(jīng)過(guò) k 站中轉(zhuǎn)的 最便宜線路，不妨 廣度優(yōu)先遍歷中 用 distSet[] 記錄下 src 可到達(dá)站點(diǎn)的 最低價(jià)格;最后返回 distSet[ dst ] 即可, 這里注意下的是 如果沒(méi)到達(dá)，按照題意應(yīng)返回 -1。
public int findCheapestPrice(int n, int[][] flights, int src, int dst, int k) {
// ...
int[] distSet = new int[n];
que.offer(src);
for(int i = 0; i <= k && !que.isEmpty(); i++){
// 判斷當(dāng)前最小的 標(biāo)準(zhǔn) 是基于上一輪的遍歷結(jié)果
int[] pre = Arrays.copyOf(distSet,distSet.length);
int size = que.size();
while( size-- > 0){
int node = que.poll();
for(int j = 0; j < map[node].length; j++){
if( map[node][j] == 0) continue;
// distSet[j] == 0 代表之前沒(méi)有到達(dá)過(guò)，因此需要 寫入 distSet[j]
// 如果當(dāng)前距離 不之前大，這個(gè)頂點(diǎn)不必進(jìn)行下一輪遍歷
if( distSet[j] != 0 &&
distSet[j] < pre[node] + map[node][j]) continue;
// 記錄最小結(jié)果
distSet[j] = pre[node] + map[node][j] ;
que.offer(j);
}
}
}
// distSet[j] == 0 代表之前沒(méi)有到達(dá)過(guò)，返回 -1
return distSet[dst] == 0 ? -1:distSet[dst];
}
這里其實(shí)是 使用 Bellman-Ford 算法的思想進(jìn)行解題；在圖算法領(lǐng)域還有著很多著名的算法，后續(xù)可以整理下更專業(yè)的解讀，這里只是演示個(gè)簡(jiǎn)單的應(yīng)用。
Bellman-Ford 算法，最初由Alfonso Shimbel 1955年提出，但以 Richard Bellman 和 Lester Ford Jr.的名字命名，他們分別于 1958年 和 1956年 發(fā)表了該算法，向前輩致敬。
最后附上完整代碼：
public int findCheapestPrice(int n, int[][] flights, int src, int dst, int k) {
int[][] map = new int[n][n];
for(int i = 0; i < flights.length; i++){
map[flights[i][0]][flights[i][1]] = flights[i][2];
}
int[] distSet = new int[n];
Deque<Integer> que = new ArrayDeque<>();
que.offer(src);
for(int i = 0; i <= k && !que.isEmpty(); i++){
int[] pre = Arrays.copyOf(distSet,distSet.length);
int size = que.size();
while( size-- > 0){
int node = que.poll();
for(int j = 0; j < map[node].length; j++){
if( map[node][j] == 0) continue;
if( distSet[j] != 0 &&
distSet[j] < pre[node] + map[node][j]) continue;
distSet[j] = pre[node] + map[node][j] ;
que.offer(j);
}
}
}
return distSet[dst] == 0 ? -1:distSet[dst];
}
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總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的数据结构与算法 | 图（Graph）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。
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