我們知道，快速傅里葉變換（FFT）是信號處理的重要數學工具。一般而言，n點信號的離散傅里葉變換（DFT）的變換結果（頻域）也是n個數據點。但在實際應用中，對實際信號作FFT 時，常常涉及到變換前數據需要補零（Zero padding）的問題。一些論壇里，曾看到某些專業人士從信息論的角度分析認為：“Zero padding沒有增加時域信號的有效信息，因此，不會改變DFT/FFT的分辨率”。那么，補零到底有什么用，什么時候需要補零呢？對于一般的工程技術人員來說，基本就是調用現成代碼或模塊進行計算，很少考慮這些問題。其實，了解和搞清楚這個問題，對實際應用還是很有幫助的。接下來，我們將從以下幾個方面來簡要闡述如何補零以及它對頻譜分析結果的影響。

一、什么是補零（Zero Padding）？

簡單來說，補零(Zero Padding)就是對變換前的時域或空域信號的尾部添加若干個0，以增加數據長度。如圖1所示，為含有1.00 MHz 和1.05 MHz 兩個頻率成分合成的正弦波實信號。

(a)

(b)

圖1 時域信號的補零示意圖

圖1(a)中信號長度為1000個樣點，采樣頻率為fs=100 MHz時，信號的實際時長則為10 us。在其尾部添加1000個0，即數據增加到了2000個點（時長為20us），則變為圖1(b)所示的波形。

這個過程就是通常所說的補零（Zero Padding）。

二、為什么要Zero Padding？

最直接的理由就是，如果時域波形的數據樣點為2的整數冪的話，FFT計算將是最高效的，硬件（FPGAs）計算FFT，就是采用了這樣的Padding工作模式。那么，我們所關心的補零會不會影響計算輸出的頻率分辨率呢。

三、關于FFT頻率分辨率

這里涉及到兩種意義下的分辨率問題，一種叫“波形頻率分辨率（Waveform frequency resolution”）或叫視覺頻率分辨率（Visual frequency resolution）；另一種則叫做“FFT分辨率”。雖然，這個分類和命名不一定是很專業的術語，但卻有助于對“頻率分辨率”概念的理解。在沒有補零的情況下，這兩個概念通常容易被混淆，因為它們是等價的。

波形頻率分辨率是指可以被分辨的2個頻率的最小間隔（Spacing）；而FFT 分辨率則是頻譜中的數據點數（The number of points in the spectrum），它是與做FFT的點數直接相關的。

因此，波形頻率分辨率可定義為：

ΔRw= 1/T 7

其中，T是實際信號的時間長度。

同樣，FFT分辨率可以定義為：

ΔRf= fs/Nfft

其中，fs為采樣頻率（the sampling frequency），Nfft為FFT的點數。ΔRf代表了FFT頻率軸上的頻率取值的間隔（Spacing）。

值得注意的是，可能有很好的FFT分辨率，但卻不一定能夠很好的把2個頻率成分簡單的分開。同樣，可能有很高的波形分辨率，但波形的能量峰值會通過整個頻譜而分散開（這是因為FFT的頻率泄漏現象）。

我們知道，信號的離散傅里葉變換（DFT）或快速傅里葉變換（FFT）是對波形的任何一邊補零形成的無限序列進行計算的。這就是，為什么FFT的每個頻率單元（bin）都具有明顯的sinc 波的形狀。

波形頻率分辨率1/T與一個sinc函數空值間隔（the space between nulls）是一樣的。

四、例析

下面以一個具有2種頻率成分的周期信號為例，說明Zero Padding與頻譜分辨率的關系：

x = sin(2*pi*1000000*t)+sin(2*pi*1050000*t)

其中，f1 = 1.00MHz，f2 = 1.05MHz，頻率間隔為0.05MHz。也就是說，在我們的頻譜分析曲線上能看到2個頻率點的峰，若2個正弦波的幅度為1伏( V)，那么我們期望在1 MHz 和 1.05 MHz的頻率點處的功率為10 dBm。

分以下幾種情況進行分析：

1)時域信號1000個點采樣，做相同樣點數的FFT

圖2 原始信號的功率譜（1000點 FFT）

圖2中，我們并沒有看見期望的兩個脈沖，因為圖中僅出現一個脈沖點，其幅度約為11.4 dBm。顯然，這個圖并不是我們想要的正確的頻譜圖。原因很簡單，沒有足夠的分辨率看見兩個峰值（Peaks）。

2)時域信號1000個點采樣，后端補6000個零，做7000點數的FFT

我們自然想到，采用補零方式增加FFT點數，以使頻率軸上能增加更多點數。如采用7000個點做FFT，即需要在原1000點信號尾部增加6000個零值（即60us時長），則原始信號變為圖3(a)所示，其FFT結果如圖3(b)所示。

(a)

(b)

圖3 原始信號補零及功率譜（7000點 FFT）

圖3中，我們也并沒有看見期望的結果。仔細觀察一下，此圖到底告訴了我們什么呢？即通過增加更多FFT點數的做法，使得波形頻率分辨率公式中的sinc函數的定義更清晰。可以看出，sinc 空值（nulls）間隔大約是0.1 MHz。

由于給出信號的兩個正弦波的頻率間隔是按0.05 MHz分隔的, 因此，不管我們用多少FFT點數（Zero padding），都無法解決2個正弦波的問題。

再來看一下頻率分辨率ΔRf告訴了我們什么。盡管，FFT分辨率大約為14kHz（足夠的頻率分辨率）， 而波形頻率分辨率僅僅為100 kHz。兩個信號的頻率間隔是50kHz，所以我們受限于波形頻率分辨率ΔRw。

3)時域信號7000個點采樣，做7000點數的FFT

為了合理地解決這個頻譜的問題，需要增加用于FFT的時域數據的長度（點數）。因此，我們直接采集波形的7000點作為輸入信號，取代補零（Zero Padding）方式到 70us (7000 點) 。時間域信號及對應的功率譜分別如圖4a-4b所示。

(a)

(b)

圖4 按7000點采集的信號及其功率譜

通過時域數據的周期延拓，現在的波形頻率分辨率ΔRw也近似為14KHz。但從頻譜圖中，我們還是看不見2個正弦波。1 MHz 信號已按正確的10 dBm功率值清晰地表征，而1.05 MHz 信號變寬，且未以期望的10 dBm 功率分布。這是為什么呢？

原因就是1.05 MHz處并沒有FFT點的分布，原因是此處的能量被多個FFT點分散（泄露）了。

給出的例子中，采樣頻率是100 MHz，FFT點數為7000。頻譜圖中，點與點之間的間隔是14.28 kHz。1 MHz頻率剛好為頻率間隔的整數陪，而1.05 MHz 卻不是。距1.05 MHz最近的整數倍頻率為1.043 MHz 和1.057 MHz, 因此，能量被這2個FFT單元所分散。

4)時域信號7000個點采樣，后端補1000個零，做8000點數的FFT。

為了解決這個問題，我們可以合理選擇FFT的點數，以便這兩個點能在頻率軸上成為獨立分開的點。由于，我們并不需要更好的波形頻率分辨率，僅采用時域數據的零填充方式來調整FFT數據點的頻率間隔。

給時域信號增加1000零值(10 us)，使得頻率間隔為12.5 kHz，這樣，滿足了1 MHz and 1.05 MHz兩個頻率都是這個間隔的整數倍。此時，給出的功率譜如圖5所示。可以看出，兩個頻率問題得到解決，而且功率均在期望的10 dBm。

圖5 補零至8000點信號的功率譜

為了進一步觀察過度補零的現象，通過時域補更多的零值（10000點）來完成更多點數的FFT（確保具有正確的波形頻率分辨率ΔRw），我們就可以清晰地看到FFT單元（bins）的sinc波形狀，如圖6所示。

圖6 補零至107000點信號的功率譜

博文中計算結果和圖件，均利用MATLAB進行仿真驗證。如需代碼，可直接聯系本人。

轉載自：
科學網

總結

以上是生活随笔為你收集整理的信号处理:傅立叶变换的波形分辨率和频率分辨率的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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