?? 正弦信號在信號處理中是很常見的，比如通信領域的載波。由于正弦與余弦只是相差π/2的初相，因此這里統稱正弦信號。給出連續正弦信號的表達式：

式中，A為振幅，Ω為模擬角頻率(rad/s)，φ為初相，f為模擬頻率(Hz)，Ω=2πf?。

? ? ? ??在滿足奈奎斯特采樣定理條件下對信號x(t)進行采樣得到離散正弦信號x(n)

式中，f_s為采樣頻率，T_s為采樣間隔，T_s=1/f_s，ω為數字角頻率(rad)，ω=2πf/f_s。

? ? ? ??根據ω可以判斷x(n)的周期性，若2π/ω為有理數則x(n)為周期信號，周期為有理數的分母，詳情可參考數字信號處理類教科書。

? ? ? ??對N點長的x(n)進行FFT可得其N點長的離散傅里葉變換(DFT)，記為X(k)。注意，FFT只是DFT的快速算法的總稱。由于x(n)是實信號，所以X(k)為對稱的，只須關注其前N/2點即可。

? ? ? ??今天要討論的問題來自一篇文檔《為什么要進行傅里葉變換》，這是一篇網上很熱門文章，原文出處不詳，給出參考鏈接：網易博客，百度文庫，豆瓣。

? ? ? ??在原文第七部分“七、用Matlab實現快速傅立葉變換”中有一段話是這樣子寫的：

? ? ? ??假設FFT之后某點n用復數a+bi表示，那么這個復數的模就是An=根號a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根據以上的結果，就可以計算出n點（n≠1，且n<=N/2）對應的信號的表達式為：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。對于n=1點的信號，是直流分量，幅度即為A1/N。

? ? ? ??這里用本文的符號翻譯一下：對于x(n)的離散傅里葉變換X(k)來說，X(k)一般為復數，可設為X(k)=a(k)+ jb(k)，其模值|X(k)|和相角arg[X(k)]分別為

對于任意一項X(k)(0<k<N/2)，它所對應的時域信號表達式為

其中。若k=0，即直流分量，其幅度為|X(k)|/N。

? ? ? ??有關模擬頻率f與離散頻率k的關系可參見數字信號處理類教科書，下面對時域信號幅度相角與離散頻域的幅值相角的關系結論進證明。

? ? ? ??為了避免頻譜泄漏，取f、f_s和N均為正整數，且N=mf_s，m為正整數。

? ? ? ??對離散正弦信號x(n)進行DFT變換：

上面推導過程中使用了歐拉公式和三角函數積化和差公式。令

則? 。

? ? ? ??當mf+k≠0時，根據離散正弦信號的周期性判斷方法，我們知道X_Re1(k)和X_Im1(k)求和式中的正弦信號一定是以N為周期的，所以從0到N－1求和必為零；同理，當mf－k≠0時，X_Re2(k)和X_Im2(k)求和式中的正弦信號一定是以N為周期的，所以從0到N－1求和也必為零。若要使mf+k項為零，則必有f=k=0，若要使mf－k項為零，則要滿足mf=k。

? ? ? ??下面以文檔《為什么要進行傅里葉變換》中的例子為例來說明：

? ? ? ??S=2+3*cos(2*pi*50*t－pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)。式中cos參數為弧度，所以－30度和90度要分別換算成弧度。我們以256Hz的采樣率對這個信號進行采樣，總共采樣256點。

? ? ? ??我們取信號S的50Hz成份。這里f_s=256Hz，N=256，f=50Hz，m=1，代入得

可以通過周期性討論得知，若k≠50，則必有X(k)=0（當然k=256－50時與k=50對稱，前面我們說了只討論前N/2=128個點）。當k=50時

因此可得時域幅值相角與頻域模擬相角的關系

這里模擬頻率f與離散頻率k的關系為

同理可以討論f=75Hz成份。對于直流成份，可以認為是如下正弦信號

即f=0Hz，φ=0，代入得

可以通過周期性討論得知，若k≠0，則必有X(k)=0；當k=0時

其實對于直流成分沒有必要這么復雜，直流成分就是一個常數，對常數序列A做DFT

若k≠0，求和項復正弦序列以N為周期，求和后必為零；若k=0，求和通項等于1，則

? ? ? ??推導了半天，可能有些糊涂，最后再把結論清晰的給出來，以便查閱：

? ? ???【結論1】若有離散正弦信號

對x(n)做N點FFT得X(k)，則在0<k<N/2范圍內僅在k=f/(f_s/N)處有值，若設此值為X=a+jb，則此值與離散正弦信號有如下關系

其中

結論中，為保證k=f/(f_s/N)為整數（即不發生頻譜泄漏，要求f，f_s，N均為正整數，且N=mf_s，m為正整數，即N為整數倍的f_s）

? ? ? ??【結論2】若有直流信號x(n)=A，對x(n)做N點FFT得X(k)，則僅在k=0處有值，且此值X=AN，也可以寫為A=X/N。

?

附：三角函數積化和差公式

總結

以上是生活随笔為你收集整理的离散正(余)弦信号的时域与FFT变换后所得频域之间的关系（幅值和相角）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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