海盗分金问题
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題目描述
有5個海盜1、2、3、4、5，得到100個金幣，決定分掉，分法怪異：首先A提出分法，B~E表決，如果不過半數(shù)同意，就砍掉A的頭。然后由B來分，C~E表決，如果不過半數(shù)同意，就砍掉B的頭。依次類推，如果假設(shè)強盜都足夠聰明，在不被砍掉頭的同時獲得最多金幣。問：最后結(jié)果如何？
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定義問題
5個海盜必須按照上述規(guī)則，找出最優(yōu)分配方案，否則將被其他人扔下大海。
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當(dāng)前狀態(tài)
正確分配方案還沒出來，必須盡快找出最優(yōu)解。
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分析
典型的nim取子問題的變形，采用倒推方式即可找出最優(yōu)解。
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制定解決方案
倒推方法如下所示。
（1）如果只有海盜，如何分配？
（2）如果有兩個海盜，如何分配？
（3）如果有n個海盜，每個海盜至少需要幾個人同意？找出n-1個海盜情況下的分配方案中，需要收買多少海盜？最低需要多少金幣？
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實現(xiàn)解決方案
倒推方法實現(xiàn)如下表所示，每一行表示一張人數(shù)情況下的分配方案，即，最后一行給出5號海盜的分配方案。
注意：從表中可以看出聰明是大前提，當(dāng)然殘忍也是。nim取子游戲向來是君子游戲，沒有這個前提的弧，后面的海盜不按套路出牌就不可能有最優(yōu)解。
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標(biāo)準(zhǔn)化解決方案
從上表不難看出規(guī)律，也即，自己拿盡可能多的金幣，同時保證后面的人依次分配0、1交錯的金幣數(shù)。規(guī)范化命題如下：
*命題：假設(shè)對于n個聰明、殘忍的海盜（n>=1），搶了Gold個金幣，要進行分配，每個人都想分配足夠多的金幣，他們寸步不讓。分配順序是：n號海盜>n-1號海盜....1號海盜，即是：先由n號海盜決定如何分配，若分配不均，n號被殺死，n-1號海盜再決定如何分配，依次類推。在該規(guī)則下，n號海盜最佳分配方案應(yīng)當(dāng)如此（為簡單，避免使用地板函數(shù)，按n為奇偶數(shù)分類討論）：
不妨假設(shè)ones為得到1個金幣好海盜，zeros為得到0個金幣的海盜數(shù)。
（1）當(dāng)n為奇數(shù)時，ones = zeros = (n - 1) / 2，分配方案為Gold-ones，0,1,.......,0,1
（2）當(dāng)n為偶數(shù)時，ones = （n - 2) / 2, zeros = n / 2，分配方案為Gold - ones,0,1,......1,0
該命題從上述分析中的規(guī)律中得出，不是定理，更不是公理，作為標(biāo)準(zhǔn)化解決方案需要嚴(yán)格證明。
證明：
注釋：使用跳躍數(shù)學(xué)歸納法證明，跳躍的step為2。
先證明n為奇數(shù)時命題是否成立。
當(dāng)n = 1時，顯然該命題成立
假設(shè)當(dāng)n = m（m > 1）時命題成立，則分配方案為
Ones(m) = Zeros(m) = ( m - 1) / 2
Proposa(m) = Gold - Ones(m),0,1,......,0,1
= Gold - (m - 1) / 2, 0,1.....,0,1
當(dāng)n = m + 1時，顯然命題成立，理由如下
Ones(m + 1) = (m + 1 - 2) / 2 = (m?- 1) / 2，Zeros(m + 1) = (m + 1) / 2
注意：
（a）m+1為偶數(shù)，計算ones和zeros需要換個公式
（b）對比n=m情形，僅僅是多了個0
Proposal(m + 1) = Gold - Ones(m + 1), 0, 1,.....,0, 1, 0
= Gold - (m - 1)/2,0, 1, ......., 0, 1, 0
對比Ones(m), Ones(m + 1), Zeros(m), Zero(m + 1)可以看出僅僅是在Proposal(m)序列后面添個0。這回導(dǎo)致Proposal(m + 1)與Proposal(m)兩個序列中，0,1交錯序列剛好錯位，對應(yīng)金幣分配方案中則為：m+1號海盜分配方案就是把Proposal(m)中沒有得到金幣的人每個給1個金幣實現(xiàn)自己金幣最大化，同時保證同意的人數(shù)大于等于2.
綜上所述，當(dāng)n為奇數(shù)時，該命題成立。
再證明n為偶數(shù)時命題是否成立。
當(dāng)n = 2，命題成立（大于的最小偶數(shù)只能2）
歸納方法同1.
綜合1、2分析，該命題成立。
證畢。
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該標(biāo)準(zhǔn)化解決方案用程序?qū)崿F(xiàn)如下
說明：該程序考慮了金幣數(shù)量遠(yuǎn)小于海盜數(shù)量時，最先出來分配的部分海盜都被殺死了。
1 #include <stdio.h> 2 3 const int g_first = 2; 4 const int g_zero = 0; 5 const int g_one = 1; 6 7 int print_proposal(int *gold, int *pirate, int *ones, int *zeros, int *status) 8 { 9 int ret = 1; 10 int number = 0; 11 int remain = *gold - *ones; 12 if (*pirate <= 0) 13 { 14 printf(".\n"); 15 return 0; 16 } 17 if (remain <= 0) 18 { 19 number = 0; /* not enough gold, killed by others, regenerate proposal */ 20 ret = 1; /* conitnue */ 21 22 /* regenerate proposal */ 23 if (*pirate % 2 == 0) 24 { 25 *ones = (*pirate - 2) / 2; 26 *zeros = *pirate / 2; 27 } 28 else 29 { 30 *ones = *zeros = (*pirate - 1) / 2; 31 } 32 } 33 else if (*status == g_one) 34 { 35 number = 1; 36 *ones--; 37 *status = g_zero; 38 } 39 else if (*status == g_zero) 40 { 41 number = 0; 42 *zeros--; 43 *status = g_one; 44 } 45 else { 46 number = remain; 47 *status = g_zero; 48 } 49 if (*status != g_first && *ones <= 0 && *zeros <= 0) 50 { 51 ret = 0; 52 } 53 54 printf("%d ", number); 55 *pirate = *pirate - 1; 56 57 return ret; 58 } 59 60 int main() 61 { 62 int gold; 63 int pirate; 64 int ones; 65 int zeros; 66 int temp; 67 int status; /* process first, zero or one */ 68 printf("Please Enter gold and pirate number:\n"); 69 while (scanf("%d %d", &gold, &pirate) == 2) 70 { 71 if (pirate < 1 || gold < 1) 72 { 73 break; 74 } 75 if (pirate % 2 == 0) 76 { 77 ones = (pirate - 2) / 2; 78 zeros = pirate / 2; 79 } 80 else 81 { 82 ones = zeros = (pirate - 1) / 2; 83 } 84 85 status = g_first; 86 printf("Proposal(%d, %d) is: ", gold, pirate); 87 temp = pirate; 88 while (print_proposal(&gold, &temp, &ones, &zeros, &status)) 89 ; 90 91 if(pirate == 1) 92 { 93 printf(".\n"); 94 } 95 96 printf("\n"); 97 printf("Please Enter gold and pirate number:\n"); 98 } 99 return 0; 100 }
決定下一步
本問題到此為止，暫時沒有下一步動作。
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總結(jié)
這個結(jié)論告訴我們：
（1）最先掌握分配權(quán)的人，看似最危險，膽小的人可能會擔(dān)心所有人都不支持你，你就只能被殺死了。其實，他優(yōu)先掌握了主動權(quán)，天下武功，唯快不破，掌握市場先機很重要。
（2）越快越好，但不能快過了頭。100個金幣，1000個海盜的話，最先出來分配的人必然死掉。同樣的，20年前搞酒店搜索，率先占據(jù)了主動權(quán)，快得一塌糊涂那也沒戲。
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該題目源自：微博陳利人。
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這是菜鳥我見這個問題分析的很透徹的一個帖子，感謝原作者。
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解答引自：http://blog.losthit.com/archives/pirate-and-gold/
轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/iloveyouforever/p/3449621.html
總結(jié)
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