文章目錄

• 一：AVL樹(shù)基本概念
• 二：AVL樹(shù)實(shí)現(xiàn)原理
• • （1）構(gòu)建AVL樹(shù)
  • （2）構(gòu)建演示
  • （3）旋轉(zhuǎn)方法
  • • A：右單旋轉(zhuǎn)調(diào)整（插入到較高左子樹(shù)左側(cè)）
    • B：左單旋轉(zhuǎn)調(diào)整（插入到較高右子樹(shù)右側(cè)）
    • C：先左后右雙旋轉(zhuǎn)調(diào)整（插入到較高左子樹(shù)右側(cè)）
    • D：先右后左雙旋轉(zhuǎn)調(diào)整（插入到較高右子樹(shù)左側(cè)）
• 三：AVL樹(shù)相關(guān)代碼

一：AVL樹(shù)基本概念

二叉排序樹(shù)有一個(gè)缺陷：樹(shù)的高度會(huì)直接影響其查找效率，且樹(shù)越高效率越差，效率最差時(shí)為一棵單分支樹(shù)

平衡二叉樹(shù)(Self-Balancing Binary Search Tree)：它首先是一顆二叉排序樹(shù)，其中每個(gè)節(jié)點(diǎn)的左右子樹(shù)高度之差絕對(duì)值不超過(guò)1。將二叉樹(shù)上結(jié)點(diǎn)左子樹(shù)和右子樹(shù)高度之差的絕對(duì)值稱(chēng)之為平衡因子BF(Balance Factor)，因此，平衡因子BF的取值只可能是-1、0和1中的一種

• -1：表示該結(jié)點(diǎn)左子樹(shù)高度小于右子樹(shù)高度
• 0：表示該結(jié)點(diǎn)左子樹(shù)高度等于右子樹(shù)高度
• 1：表示該結(jié)點(diǎn)左子樹(shù)高度大于右子樹(shù)高度

以下是一些例子

• ①是AVL樹(shù)
• ②不是AVL樹(shù)，因?yàn)锳VL樹(shù)前提必須首先是二叉排序樹(shù)
• ③不是AVL樹(shù)，因?yàn)榻Y(jié)點(diǎn)58左子樹(shù)高度為2，而右子樹(shù)為高度為0，BF>1
• ④是AVL樹(shù)

最小不平衡子樹(shù)：距離插入點(diǎn)最近的，且平衡因子絕對(duì)值大于1的結(jié)點(diǎn)為根的子樹(shù)

如下，當(dāng)插入新節(jié)點(diǎn)37時(shí)，距離它最近的平衡因子絕對(duì)值超過(guò)1的結(jié)點(diǎn)是58，所以58開(kāi)始以下的子樹(shù)為最小不平衡子樹(shù)

二：AVL樹(shù)實(shí)現(xiàn)原理

（1）構(gòu)建AVL樹(shù)

AVL樹(shù)構(gòu)建思想：在構(gòu)建二叉排序樹(shù)的過(guò)程中，每當(dāng)插入一個(gè)結(jié)點(diǎn)時(shí)，先檢查該結(jié)點(diǎn)的插入是否導(dǎo)致了平衡性被破壞，若不是則繼續(xù)插入；若是則找出最小不平衡子樹(shù)，在保持二叉排序樹(shù)特性的前提下，調(diào)整最小不平衡子樹(shù)中各結(jié)點(diǎn)的鏈接關(guān)系，也即平衡調(diào)整，進(jìn)行相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)，使之成為新的平衡子樹(shù)

int arr[10]={3,2,1,4,5,6,7,10,9,8}

假設(shè)上面數(shù)組需要構(gòu)建為AVL樹(shù)，由于AVL樹(shù)首先是BST樹(shù)，所以會(huì)構(gòu)建成下面這樣

但是我們知道，BST樹(shù)很忌諱其高度太高，所以如果能調(diào)整為下面這樣那再合適不過(guò)了，因?yàn)橄旅娴臉?shù)依然是一棵BST樹(shù)，但是其高度小了很多，查找效率自然也會(huì)得到提高

因此對(duì)于AVL樹(shù)的研究重點(diǎn)就在于如何調(diào)整，也就是如何旋轉(zhuǎn)

（2）構(gòu)建演示

對(duì)于$3$和$2$，構(gòu)建時(shí)沒(méi)有任何問(wèn)題

來(lái)到$1$并將其插入后，發(fā)現(xiàn)根節(jié)點(diǎn)$3$的平衡因子變?yōu)榱?，此時(shí)整棵樹(shù)成為最小不平衡子樹(shù)，需要進(jìn)行調(diào)整：右單旋轉(zhuǎn)調(diào)整(點(diǎn)擊跳轉(zhuǎn)查看)

• 因?yàn)榇藭r(shí)結(jié)點(diǎn)插入到了較高左樹(shù)左側(cè)

• 調(diào)整后，$2$成為了根節(jié)點(diǎn)，$3$成為了$2$的右孩子，此樹(shù)高度平衡

接著結(jié)點(diǎn)$4$到來(lái)，平衡因子沒(méi)有變化

接著結(jié)點(diǎn)$5$到來(lái)，結(jié)點(diǎn)$3$的平衡因子變?yōu)?2，需要進(jìn)行調(diào)整：左單旋轉(zhuǎn)調(diào)整(點(diǎn)擊跳轉(zhuǎn)查看)

• 因?yàn)榇藭r(shí)結(jié)點(diǎn)插入到了較高右樹(shù)右側(cè)
  

• 再次達(dá)到平衡

接著結(jié)點(diǎn)$6$到來(lái)，此時(shí)根節(jié)點(diǎn)$2$的平衡因子變?yōu)榱?2，進(jìn)行調(diào)整 左單旋轉(zhuǎn)調(diào)整(點(diǎn)擊跳轉(zhuǎn)查看)

• 因?yàn)榇藭r(shí)結(jié)點(diǎn)插入到了較高右樹(shù)右側(cè)

結(jié)點(diǎn)$7$到來(lái)，結(jié)點(diǎn)5的平衡因子變?yōu)榱?2，進(jìn)行調(diào)整 左單旋轉(zhuǎn)調(diào)整(點(diǎn)擊跳轉(zhuǎn)查看)

• 因?yàn)榇藭r(shí)結(jié)點(diǎn)插入到了較高右樹(shù)右側(cè)

結(jié)點(diǎn)$10$到來(lái)，結(jié)構(gòu)無(wú)變化

結(jié)點(diǎn)$9$到來(lái)，此時(shí)結(jié)點(diǎn)$7$的BF變?yōu)榱?2，理應(yīng)進(jìn)行左單旋轉(zhuǎn)調(diào)整，但是由于此時(shí)新結(jié)點(diǎn)插入到了較高右樹(shù)左側(cè)，故直接使用左單旋轉(zhuǎn)調(diào)整是不可以的。（具體原因跳轉(zhuǎn)過(guò)去會(huì)詳細(xì)解釋），需要進(jìn)行 先右后左雙旋轉(zhuǎn)調(diào)整(點(diǎn)擊跳轉(zhuǎn)查看)

• 很明顯$9$插入了$7$的右子樹(shù)左側(cè)，故不能直接使用左單旋轉(zhuǎn)

• 故先對(duì)$9$和$10$進(jìn)行右旋，再對(duì)$7$、$9$和$10$進(jìn)行左旋

接著結(jié)點(diǎn)$8$插入，使結(jié)點(diǎn)$6$的BF變?yōu)榱?2，屬于插入到了較高右樹(shù)的左側(cè)，故需要進(jìn)行 先右后左雙旋轉(zhuǎn)調(diào)整(點(diǎn)擊跳轉(zhuǎn)查看)

（3）旋轉(zhuǎn)方法

大家最頭疼的可能就是如何選擇旋轉(zhuǎn)方法了，總結(jié)如下，只需按照如下邏輯選擇即可

A：右單旋轉(zhuǎn)調(diào)整（插入到較高左子樹(shù)左側(cè)）

下圖中為抽象樹(shù)，三角形表示的樹(shù)為高度平衡的二叉樹(shù)排序樹(shù)。如下情況中，結(jié)點(diǎn)A的平衡因子絕對(duì)值為1，左子樹(shù)較高

此時(shí)來(lái)了一個(gè)新的結(jié)點(diǎn)恰好插入到了B結(jié)點(diǎn)的左樹(shù)，導(dǎo)致A結(jié)點(diǎn)的平衡因子變?yōu)?，樹(shù)不平衡，需要進(jìn)行調(diào)整

調(diào)整時(shí)：將結(jié)點(diǎn)A下移一個(gè)高度，B上移一個(gè)高度，然后把B的右子樹(shù)掛在A的左子樹(shù)處（這樣做可以保證二叉排序樹(shù)的特性）

B：左單旋轉(zhuǎn)調(diào)整（插入到較高右子樹(shù)右側(cè)）

左單調(diào)整和右單調(diào)整情況恰好相反，調(diào)整時(shí)結(jié)點(diǎn)B上移，結(jié)點(diǎn)A下移，讓結(jié)點(diǎn)B的左子樹(shù)做結(jié)點(diǎn)A的右子樹(shù)

C：先左后右雙旋轉(zhuǎn)調(diào)整（插入到較高左子樹(shù)右側(cè)）

在右單旋轉(zhuǎn)調(diào)整中，由于新的結(jié)點(diǎn)插入到了較高左子樹(shù)的左側(cè)，所以調(diào)整后可以使樹(shù)平衡

但如果此時(shí)將新結(jié)點(diǎn)插入到較高左子樹(shù)的右側(cè)

此時(shí)如果繼續(xù)使用右單旋轉(zhuǎn)調(diào)整，你會(huì)發(fā)現(xiàn)怎么也調(diào)整不過(guò)去，依然不平衡

在這種情況下就要使用到雙旋轉(zhuǎn)調(diào)整了

我們先把較高左子樹(shù)的右子樹(shù)拆分一下，拆分為兩棵樹(shù)

大家會(huì)發(fā)現(xiàn)此時(shí)如果要在B的右側(cè)插入一個(gè)結(jié)點(diǎn)有兩個(gè)選擇——要么插入到C的左側(cè)，要么插入到C的右側(cè)
這里我以插入到C的右側(cè)為例

接著進(jìn)行雙旋轉(zhuǎn)調(diào)整：先對(duì)B樹(shù)進(jìn)行左單旋轉(zhuǎn)

形成了這樣一顆樹(shù)

然后對(duì)這顆樹(shù)再進(jìn)行右單旋轉(zhuǎn)調(diào)整，樹(shù)就平衡了

• 本例是插入到了C的右側(cè)，如果插入到了C的左側(cè)，調(diào)整也是一樣的
  

D：先右后左雙旋轉(zhuǎn)調(diào)整（插入到較高右子樹(shù)左側(cè)）

• 特別注意：先看C部分再看本部分，C部分中解釋較為詳細(xì)，本部分只是邏輯相反

在左單旋轉(zhuǎn)調(diào)整中，面對(duì)的情況是新節(jié)點(diǎn)插入到了較高右子樹(shù)的右側(cè)，而如果新節(jié)點(diǎn)插入到了較高右子樹(shù)的左側(cè)，那么就要使用先右后左雙旋轉(zhuǎn)調(diào)整

所以在這種情況下，先對(duì)右子樹(shù)進(jìn)行右單旋轉(zhuǎn)調(diào)整，然后再進(jìn)行左單旋轉(zhuǎn)調(diào)整

三：AVL樹(shù)相關(guān)代碼

對(duì)于AVL樹(shù)考研數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)基本不涉及代碼，其旋轉(zhuǎn)過(guò)程邏輯并不難，只是需要多捋一捋。其代碼實(shí)現(xiàn)有很多值得注意的地方，且稍不留心就容易掉坑，有興趣的同學(xué)可以查看我的另一篇文章，其中代碼都是可以跑通的，用C++實(shí)現(xiàn)

點(diǎn)擊跳轉(zhuǎn)

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的(王道408考研数据结构)第五章树-第四节2：平衡二叉树(AVL)及其旋转的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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