Prufer數列 Prufer數列是無根樹的一種數列。在組合數學中，Prufer數列由有一個對于頂點標過號的樹轉化來的數列，點數為n的樹轉化來的Prufer數列長度為n-2。它可以通過簡單的迭代方法計算出來。它由Heinz Prufer于1918年在證明cayley定理時首次提出。

目錄

1將樹轉化成Prufer數列的方法

2將Prufer數列轉化成樹的方法

將樹轉化成Prufer數列的方法

一種生成Prufer序列的方法是迭代刪點，直到原圖僅剩兩個點。對于一棵頂點已經經過編號的樹T，頂點的編號為{1,2,...,n}，在第i步時，移去所有葉子節點（度為1的頂點）中標號最小的頂點和相連的邊，并把與它相鄰的點的編號加入Prufer序列中，重復以上步驟直到原圖僅剩2個頂點。 例子 Prufer數列 　　以上邊的樹為例子，首先在所有葉子節點中編號最小的點是2，和它相鄰的點的編號是3，將3加入序列并刪除編號為2的點。接下來刪除的點是4，5被加入序列，然后刪除5，1被加入序列，1被刪除，3被加入序列，此時原圖僅剩兩個點（即3和6），Prufer序列構建完成，為{3,5,1,3}

2將Prufer數列轉化成樹的方法

設{a1,a2,..an-2}為一棵有n個節點的樹的Prufer序列，另建一個集合G含有元素{1..n}，找出集合中最小的未在Prufer序列中出現過的數，將該點與Prufer序列中首項連一條邊，并將該點和Prufer序列首項刪除，重復操作n-2次，將集合中剩余的兩個點之間連邊即可。 例子 仍為上面的樹，Prufer序列為{3,5,1,3}，開始時G={1,2,3,4,5,6}，未出現的編號最小的點是2，將2和3連邊，并刪去Prufer序列首項和G中的2。接下來連的邊為{4,5},{1,5},{1,3},此時集合G中僅剩3和6，在3和6之間連邊，原樹恢復。

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1. 一棵標號樹的Pufer編碼規則如下：找到標號最小的葉子節點，輸出與它相鄰的節點到prufer 序列, 將該葉子節點刪去，反復操作，直至剩余2個節點。

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2. 由Pufer編碼生成樹：任何一個prufer 序列可以唯一對應到一棵有標號的樹，首先標記所有節點為未刪除 依次掃描prufer 序列中的數，比如當前掃描到第k個數u，說明有一個葉子節點連到u，并在當前操作中被刪除，找一個標號最小的未被標記為刪除的且在prufer 序列第k個位置后未出現過的節點v，在u,v間連邊并將v刪除，反復操作，最后剩兩個節點未被標記為刪除，在它們之間連邊，這樣得到的一個圖含有n-1條邊則是一棵樹

3. 一棵樹N個結點，其Profer序列有N-2個位置，因此可以在這N-2個位置里面任何的填充1～N之間的數形成一個prufer序列，且一個prufer序列唯一的對應一顆生成樹，于是完全圖的最小生成樹的數目為N^(N-2)

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推薦做題：pku2567，pku2568

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的树的Prufer 编码和最小生成树计数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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