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编程问答

矩阵的运算及其运算规则

發布時間：2025/3/15 编程问答 20 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了矩阵的运算及其运算规则小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

　　滿足矩陣方程，求未知矩陣．
　　解　由已知條件知
　? 　?
　　　　?

三、矩陣與矩陣的乘法

　　1、?運算規則?
　　設，，則A與B的乘積是這樣一個矩陣：
　　(1) 行數與（左矩陣）A相同，列數與（右矩陣）B相同，即．
　　(2) C的第行第列的元素由A的第行元素與B的第列元素對應相乘，再取乘積之和．

　　典型例題?
　　例6.5.2　設矩陣　　計算?
　　解　是的矩陣．設它為
　　　　????

　　　　????
　　想一想：設列矩陣，行矩陣，和的行數和列數分別是多少呢?
　　是3×3的矩陣，是1×1的矩陣，即只有一個元素．

　　課堂練習?
　　1、設，，求．
　　2、在第1道練習題中，兩個矩陣相乘的順序是A在左邊，B在右邊，稱為A左乘B或B右乘A．如果交換順序，讓B在左邊，A在右邊，即A右乘B，運算還能進行嗎？請算算試試看．并由此思考：兩個矩陣應當滿足什么條件，才能夠做乘法運算．
　　3、設列矩陣，行矩陣，求和，比較兩個計算結果，能得出什么結論嗎？
　　4、設三階方陣，三階單位陣為，試求和，并將計算結果與A比較，看有什么樣的結論．

　　解：?
　　第1題．　　第2題
　　對于，．　　求是有意義的，而是無意義的．

　　結論1　只有在下列情況下，兩個矩陣的乘法才有意義，或說乘法運算是可行的：左矩陣的列數＝右矩陣的行數．
　　第3題
　　是矩陣，是的矩陣．
　　　????????．
??????????????
????結論2　在矩陣的乘法中，必須注意相乘的順序．即使在與均有意義時，也未必有=成立．可見矩陣乘法不滿足交換律．
　　第4題
　　計算得：．
　　結論3　方陣A和它同階的單位陣作乘積，結果仍為A，即．
　　單位陣在矩陣乘法中的作用相當于數1在我們普通乘法中的作用．

　　典型例題?
　　例6.5.3　設，試計算和．
　　解　?
　　　　　　?
　　　　　　．
　　　　?
　　　　　　?
　　　　　　?
????結論4　兩個非零矩陣的乘積可以是零矩陣．由此若，不能得出或的結論．

　　例6.5.4　利用矩陣的乘法，三元線性方程組　　可以寫成矩陣的形式 ?＝　　若記系數、未知量和常數項構成的三個矩陣分別為 ?，，，　　則線性方程組又可以簡寫為矩陣方程的形式：．

　　2、?運算性質（假設運算都是可行的）?
　　(1)　結合律　．
　　(2)　分配律　（左分配律）；
　　　　　　　　　（右分配律）．
　　(3)　．
　　?3、?方陣的冪?

	?
	定義：設A是方陣，是一個正整數，規定，顯然，記號表示個A的連乘積．

四、矩陣的轉置

　　1、?定義

	?
	定義：將矩陣A的行換成同序號的列所得到的新矩陣稱為矩陣A的轉置矩陣，記作或．

　　例如，矩陣的轉置矩陣為．
　　2、運算性質（假設運算都是可行的）
　　(1)　?
　　(2)　?
　　(3)　?
　　(4)　，是常數．

　　典型例題?
　　例6.5.5? 利用矩陣　　驗證運算性質：?
　　解　???；
　　而
　　　　?
　　所以
　　　．

	?
	定義：如果方陣滿足，即，則稱A為對稱矩陣．

　　對稱矩陣的特點是：它的元素以主對角線為對稱軸對應相等．

五、方陣的行列式

　　1、定義

	?
	定義：由方陣A的元素所構成的行列式（各元素的位置不變），稱為方陣A的行列式，記作或．

　　2?、運算性質?
　　(1)??（行列式的性質）
　　(2)?，特別地：?
　　(3)?（是常數，A的階數為n）
　　思考：設A為階方陣，那么的行列式與A的行列式之間的關系為什么不是，而是？

　　不妨自行設計一個二階方陣，計算一下和．
　　例如，則．
　　于是，而?．
　　思考：設，有幾種方法可以求？
　　解? 方法一：先求矩陣乘法，得到一個二階方陣，再求其行列式．
　　　　方法二：先分別求行列式，再取它們的乘積．