文章目錄

• 一：不同的人如何看待向量
• 二：坐標系中的向量表示
• 三：坐標系中向量加法和數乘
• • （1）相加
  • （2）數乘

一：不同的人如何看待向量

向量的概念我們再熟悉不過了，他們在不同人眼中是不一樣的

學物理的人認為，向量是空間里面的箭頭，決定一個向量的是它的方向和長度，如果兩個向量這兩個特征相同，那么你可以在空間中任意移動

• 二維向量
  

• 三維向量
  

學計算機的人認為，向量是有序的數字列表，試圖通過一組數字（順序不可顛倒）去描述（專業叫建模）描述某個對象

對于學數學的人，他們覺得向量可以是任何東西，只要保證兩個向量相加以及數字與向量相乘是有意義的即可

可以看出為什么從數學的角度看，向量是相當抽象的，這也是為什么我們無法學好線性代數的本質，而且向量相加和數乘也貫穿了線性代數這門學科的始終、

二：坐標系中的向量表示

在線性代數中，我們的向量是一個以坐標原點為起點的箭頭（下面的是二維直角坐標系，三維，更高維也是這樣）

我們經常會見到線性代數中用$\left(\begin{array}{c}?2\\ 3\end{array}\right)$這樣的形式表示向量，這一對數表示了如何從原點（向量起點）到達尖端（向量終點）

• -2表示從原點開始沿著平行于X軸的負方向移動兩個單位
• 3表示從上一位置開始沿著平行于Y軸的正方向移動兩個單位

每一對數給出了唯一的一個向量，而每一個向量又恰好對應唯一一對數

當然我們處于三維世界，也是如此，會多一個z軸，這樣的話每一向量就會與一個三元數組對應，比如$?\begin{array}{c}2\\ 1\\ 3\end{array}?$

• 2表示從原點開始沿著平行于X軸的正方向移動兩個單位
• 1表示從上一位置開始沿著平行于Y軸的正方向移動一個單位
• 3表示從上一位置開始沿著平行于Z軸的正方向移動三個單位

三：坐標系中向量加法和數乘

（1）相加

我們都很熟悉向量加法的規則：
$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$+$\left(\begin{array}{c}3\\ ?1\end{array}\right)$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right)$

但為什么要這樣運算，很多人卻解釋不清楚，不過通過幾何角度會非常容易理解。
首先$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$和$\left(\begin{array}{c}3\\ ?1\end{array}\right)$這兩個向量在坐標系中表示如下

向量加法相信大家高中就學習過了：移動第二個向量，使其起點移動到第一個向量的末尾，然后連線即可

向量加法為什么一定是這樣呢？其實向量從某種方面來講，揭示的是一種運動趨勢，運動無非就是方向和距離嘛，所以大家可以看到最終向量的和就是最終的運動趨勢。

這一點其實在我們初中學習數軸時就深有體會了，我們知道2+5=7，你可以理解為先移動2步，再移動5步

我們把這種觀點運用到剛才的向量加法，兩個向量相加最終得到了一個新的向量，它一共包括四步：先向右移動1步，再向上移動2步，再向右移動3步，再向下移動1步

所以這就是向量加法的本質

（2）數乘

2·$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right)$就是向量的數乘運算

比如$2\overline{v}$就是表示把$\overline{v}$正向延長為原來的2倍

$\frac{1}{3}\overline{v}$就是表示把$\overline{v}$正向縮短為原來的$\frac{1}{3}$

而$?1.8\overline{v}$就是表示把$\overline{v}$反向延長為原來的1.8倍

對于一個向量，對其進行延長2倍等于把它的每個分量都乘以2，也即
2·$\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right)$=$\left(\begin{array}{c}1\times 2\\ 3\times 2\end{array}\right)$ =$\left(\begin{array}{c}2\\ 6\end{array}\right)$

到這里向量，就基本介紹完畢了，大家一定要深刻理解，線性代數本質就是向量，而向量既可以用箭頭表示也可以用有序數組表示，這些花里胡哨的表示方式并不是為了好看，實際是為了方便我們用數字操控空間，用空間表示數字等等

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【线性代数本质】1：向量究竟是什么的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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