【线性代数本质】3：矩阵和线性变换的本质
文章目錄
- 一：線性變換
- 二：矩陣
- 三：列相關
要說線性代數的精髓是什么？我認為就是本節的標題： 矩陣和線性變換的關系。
一：線性變換
“變換”其實是函數的一個別稱，函數我們很熟悉，它會接受內容而輸出結果
那么線性變換呢？所以我們考慮的是輸入一個向量經過變換之后再輸出對應的向量
那么既然變換就是函數，為什么不叫“線性函數”而叫線性變換呢？
其實，變換相對于函數來講，它更具有一種運動的感覺，是在暗示你用運動的角度去思考向量的函數
- 輸入向量移動到了輸出向量的位置
第二個需要理解的就是線性二字，線性的對立面就是非線性，所以非線性變換的呈現在向量的感受就是下面這樣
- 復平面f(z)=z22f(z)=\frac{z^{2}}{2}f(z)=2z2?變換
- 復平面f(z)=ezf(z)=e^zf(z)=ez變換
可以看出非線性變換是異常復雜的，但是幸運的是，這里講的線性變換，將變換限制在了一種特定的類型上
如果一個變換具有以下兩條性質，我們就稱它是線性的
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1：直線在變換后仍舊是直線，不能有所彎曲（下面動圖是反例，直線被彎曲）
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2：原點必須固定（下面是反例，直線雖然還是直線，但是原點移動了）
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3：額外補充一點-對角線也不能彎曲（下面第一張圖看起來好像是線性的，但是第二張圖揭示了對角線彎曲了）
綜上，線性變換必須是：保持網格平行且等距分布的變換
二：矩陣
可以發現，從圖像上理解線性變換比較直觀但是難以表達，既然線性代數的核心就是數字和空間的對應，那么我們如何使用數值去描述我們上面講到的線性變換呢？
- 其實線性代數的一個經典例子就是游戲和動畫——你想要讓一個角色移動到某個位置后或者其自身發出怎樣的動作，你能給出什么樣的計算公式，依次得到變換后的坐標呢？
比如現在有一個向量(?12)\begin{pmatrix} -1\\ 2\end{pmatrix}(?12?)，根據上一篇文章所提到的，它就是就是基向量ijijij的線性組合
假如現在我們施加一個線性變換如下
大家可以看到這里變換之后，v￣\overline vv和ijijij都發生了變換，都不是以前的vvv和ijijij，那么由于線性變換會保證網格線平行且等距分布，所以變換后的vvv的位置是-1與變換后iii之積+2與變換后jjj之積
或者換句話說：既然v￣\overline vv是ijijij的特定的線性組合，那么變換后的v￣\overline vv也是變換后的ijijij的特定的線性組合
這一點非常重要：你可以只根據變換后的ijijij推斷出變換后的v￣\overline vv
在上圖所示的情形中變換后的向量ijijij分別為(1?2)\begin{pmatrix} 1\\ -2\end{pmatrix}(1?2?)和(30)\begin{pmatrix} 3\\ 0\end{pmatrix}(30?)，于是，變換后的v￣\overline vv=-1(1?2)\begin{pmatrix} 1\\ -2\end{pmatrix}(1?2?)+2(30)\begin{pmatrix} 3\\ 0\end{pmatrix}(30?)=(?1(1)+2(3)?1(?2)+2(0))\begin{pmatrix} -1(1)+2(3)\\ -1(-2)+2(0)\end{pmatrix}(?1(1)+2(3)?1(?2)+2(0)?)=(52)\begin{pmatrix} 5\\ 2\end{pmatrix}(52?)，于是變換后的v￣\overline vv一定落在(52)\begin{pmatrix} 5\\ 2\end{pmatrix}(52?)處
因此只要記錄了變換后的ijijij,我們就可以推斷出任意向量在變換后的位置，而不必觀察變換本身是怎樣的
一般情況下，假如一個向量的坐標是(xy)\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}(xy?)，變換后的這個向量就是xxx乘以變換后的iii，也即(1?2)\begin{pmatrix} 1\\ -2\end{pmatrix}(1?2?)加上yyy乘以變換后的jjj，也即(30)\begin{pmatrix} 3\\ 0\end{pmatrix}(30?)，因此它將會落在(1x+3y?2x+0y)\begin{pmatrix} 1x+3y\\ -2x+0y\end{pmatrix}(1x+3y?2x+0y?)位置處
綜上，一個二維線性變換僅由四個數字完全確定，也即變換后的iii的(x,y)(x,y)(x,y)和變換后的j的(x,y)(x,y)(x,y)
通常我們將這些坐標包裝在一個2×2的格子中，稱其為——2×2階矩陣
如果你有一個描述線性變化的2×2階矩陣，以及一個給定的向量，你想了解線性變化對這個向量的作用，你只需取出向量的坐標，將它們分別與矩陣特定的列相乘，然后結果相加即可。矩陣只是一個記號，太描述了線性變換的信息
考慮一般的矩陣(abcd)\begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix}(ac?bd?)，把第一列(ac)\begin{pmatrix} a\\ c\end{pmatrix}(ac?)看作變換后的第一個基向量，把第二列(bd)\begin{pmatrix} b\\ d\end{pmatrix}(bd?)看作變換后的第二個基向量，讓此變換作用于一個向量(xy)\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}(xy?)，就會得到(ax+bycx+dy)\begin{pmatrix} ax+by\\ cx+dy\end{pmatrix}(ax+bycx+dy?)，這就是矩陣乘法的定義
三：列相關
如果給出一個矩陣(1321)\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 1\end{pmatrix}(12?31?)，你能想象出來它的線性變換是怎么樣的嗎？
- 首先將iii移動到(12)\begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix}(12?)，然后將jjj移動到(31)\begin{pmatrix} 3\\ 1\end{pmatrix}(31?)，空間剩余部分隨二者移動，保持網格線平行且等距分布
上面是一種普通情況，如果給出一個列相關的矩陣（意味著呈倍數關系），(2?21?1)\begin{pmatrix} 2 & -2\\ 1 & -1\end{pmatrix}(21??2?1?)，那么這樣的線性變換會將整個二維空間全部擠壓在他們所在的一條直線上
總結
以上是生活随笔為你收集整理的【线性代数本质】3：矩阵和线性变换的本质的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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