容斥原理

定理：
設P1、P2、…、Pm是S的對象所涉及的m個性質，
并設Ai={x：x屬于S且x具有性質Pi} （1<=i<=m）是S的具有性質Pi的對象構成的子集
那么不具有性質P1，P2，…Pm的對象個數=
|S|-Σ|Ai|+Σ|Ai∩Aj|-Σ|Ai∩Aj∩Ak|+…+（-1）^m|A1∩A2∩…∩Am|
一般情況下，此式的項數為
C（m，0）+C（m，1）+C（m，2）+…+C（m，m）=2^m

推論：
集合S中至少具有性質P1、P2、…、Pm之一的對象個數為
Σ|Ai|-Σ|Ai∩Aj|+Σ|Ai∩Aj∩Ak|-……+（-1）……（m+1）|A1∩A2∩…∩Am|
證明：
集合S中至少具有性質P1、P2、…、Pm之一的對象個數
= 集合S-集合S中不具有性質P1，P2，…Pm的對象個數
= |S|-（|S|-Σ|Ai|+Σ|Ai∩Aj|-Σ|Ai∩Aj∩Ak|+…+（-1）^m|A1∩A2∩…∩Am|）
= Σ|Ai|-Σ|Ai∩Aj|+Σ|Ai∩Aj∩Ak|-……+（-1）……（m+1）|A1∩A2∩…∩Am|

例1：求M,A,T,H,I,S,F,U,N的排列中有多少排列使得單詞 MATH,IS,FUN 都不作為連續(xù)字母出現在排列中
解：
1、|S|=9！
2、把MATH看成一個符號，集合S有6個元素，MATH,I,S,F,U,N 6!
同理，把IS,FUN看為一個符號 分別為 8！， 7！
3、A1∩A2 ：MATH,IS,F,U,N 5個元素 5！
同理，A1∩A3，A2∩A3 分別為 4！ 6！
4、A1∩A2∩A3：MATH,IS,FUN 3個元素 3！
∴ans=9！-6！-8！-7！+5！+4！+6！-3！
錯解：
A1∩A2指的是集合MATH,IS,F,U,N ，不是集合 MATHIS,F,U,N

容斥原理的特殊情況：
假設在容斥原理中出現的集合A1∩A2∩A3∩…∩Ak的大小僅依賴k，而不依賴在交集中使用了哪k個集合，
那么存在常數a0，a1，a2,…，am使得
a0=|S|
a1=|A1|=|A2|=…=|Am|
a2=|A1∩A2|=……=|Am-1∩Am|
a3=|A1∩A2∩A3=……Am-2∩Am-1∩Am|
……
am=|A1∩A2∩A3∩……∩Am|
在這種情況下，容斥原理可以化簡為
a0-C（m,1）*a1 + C（m，2）*a2 - C（m，3）*a3 +…+（-1）^m *C（m，m）am

注：例1不符合這種情況，因為與所選集合的字母數量有關，即依賴于在交集中使用了哪k個集合

由k種不同對象且每種對象具有無限重復數的多重集合的r組合個數=C（r+k-1，r）
那么如果是有限重復數呢？

例：確定多重集合T={3*a，4*b，5*c}的10組合數目
設集合S為集合W={∞*a，∞*b，∞*c}的10組合
設性質P1為W的10組合中，a出現>3次，P2為W的10組合中，b出現>4次，P3為W的10組合中，c出現>5次
那么ans=不具有性質P1P2P3的10組合的集合大小
|S|=C（10+3-1，10）
集合A1為W的10組合中，a至少出現4次的組合組成的。集合A1可以看做，集合W的6組合加入4的a，
所以|A1|=W的6組合數目=C（6+3-1,6）
同理，|A2|=C（5+3-1,5），|A2|=C（4+3-1,4）
集合A1∩A2是W的10組合中，a至少出現4次，b至少出現5次的集合組成的。可以看做集合W的1組合+4個a+5個b
所以|A1∩A2|=C（1+3-1,1）
同理，|A1∩A3|=C（0+3-1,0） |A2∩A3|=0
|A1∩A2∩A3|=0
把這些結果放到容斥原理中即可得出答案

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轉載于:https://www.cnblogs.com/TheRoadToTheGold/p/6613120.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的2017.3.24组合数学学习——容斥原理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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