1. 引言

字符串匹配是極為常見的一種模式匹配。簡單地說，就是判斷主串T中是否出現(xiàn)該模式串P，即P為T的子串。特別地，定義主串為T[0…n?1]，模式串為P[0…p?1]，則主串與模式串的長度各為n與p。

暴力匹配

暴力匹配方法的思想非常樸素：

依次從主串的首字符開始，與模式串逐一進行匹配；

遇到失配時，則移到主串的第二個字符，將其與模式串首字符比較，逐一進行匹配；

重復上述步驟，直至能匹配上，或剩下主串的長度不足以進行匹配。

下圖給出了暴力匹配的例子，主串T="ababcabcacbab"，模式串P="abcac"，第一次匹配：

第二次匹配：

第三次匹配：

C代碼實現(xiàn)：

int brute_force_match(char *t, char *p) {int i, j, tem;int tlen = strlen(t), plen = strlen(p);for(i = 0, j = 0; i <= tlen - plen; i++, j = 0) {tem = i;while(t[tem] == p[j] & j < plen) {tem++;j++;}// matchedif(j == plen) {return i;}}// [p] is not a substring of [t]return -1; }

時間復雜度：i在主串移動次數(shù)（外層的for循環(huán)）有n?p次，在失配時j移動次數(shù)最多有p?1次（最壞情況下）；因此，復雜度為O(n?p)。

---

我們仔細觀察暴力匹配方法，發(fā)現(xiàn)：失配后下一次匹配，

• 主串的起始位置 = 上一輪匹配的起始位置 + 1；
• 模式串的起始位置 = 首字符P[0]。

如此未能利用已經(jīng)匹配上的字符的信息，造成了重復匹配。舉個例子，比如：第一次匹配失敗時，主串、模式串失配位置的字符分別為?a?與?c，下一次匹配時主串、模式串的起始位置分別為T[1]與P[0]；而在模式串中c之前是ab，未有重復字符結構，因此T[1]與P[0]肯定不能匹配上，這樣造成了重復匹配。直觀上，下一次的匹配應從T[2]與P[0]開始。

2. KMP算法

KMP思想

根據(jù)暴力方法的缺點，而引出KMP算法的思想。首先，一般化匹配失敗，如下圖所示：

在暴力匹配方法中，下一次匹配開始時，主串指針會回溯到i+1，模式串指針會回退到0。那么，如果不讓主串指針發(fā)生回溯，模式串的指針應回退到哪個位置才能保證正確匹配呢？首先，我們從上圖中可以得到已匹配上的字符：

T[i…i+j?1]=P[0…j?1]

?

KMP算法思想便是利用已經(jīng)匹配上的字符信息，使得模式串的指針回退的字符位置能將主串與模式串已經(jīng)匹配上的字符結構重新對齊。當有重復字符結構時，下一次匹配如下圖所示：

從圖中可以看出，下一次匹配開始時，主串指針在失配位置i+j，模式串指針回退到m+1；模式串的重復字符結構：

T[i+j?m?1…i+j?1]=P[j?m?1…j?1]=P[0…m]

?

且有

T[i+j]≠P[j]≠P[m+1]

?

那么應如何選取m值呢？假定有滿足式子(1)的兩個值m1>m2，如下圖所示：

如果選取m=m2，則會丟失m=m1的這一種字符匹配情況。由數(shù)學歸納法容易知道，應取所有滿足式子(1)中最大的m值。

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KMP算法中每一次的匹配，

• 主串的起始位置 = 上一輪匹配的失配位置；
• 模式串的起始位置 = 重復字符結構的下一位字符（無重復字符結構，則模式串的首字符）

模式串P="abcac"匹配主串T="ababcabcacbab"的KMP過程如下圖：

部分匹配函數(shù)

根據(jù)上面的討論，我們定義部分匹配函數(shù)（Partial Match，在數(shù)據(jù)結構書[2]稱之為失配函數(shù)）：

f(j)={max{m}P[0…m]=P[j?m…j],0≤m<j?1else

?

其表示字符串P[0…j]的前綴與后綴完全匹配的最大長度，也表示了模式串中重復字符結構信息。KMP中大名鼎鼎的next[j]函數(shù)表示對于模式串失配位置j+1，下一輪匹配時模式串的起始位置（即對齊于主串的失配位置）；則

next[j]=f(j)+1

?

如何計算部分匹配函數(shù)呢？首先來看一個例子，模式串P="ababababca"的部分匹配函數(shù)與next函數(shù)如下：

j0123456789?

P[j]	a	b	a	b	a	b	a	b	c	a	?
f(j)	-1	-1	0	1	2	3	4	5	-1	0	?
next[j]	0	0	1	2	3	4	5	6	0	1	?

模式串的f(j)滿足P[0…f(j)]=P[j?f(j)…j]，在計算f(j+1)分為兩類情況：

• 若P[j+1]=P[f(j)+1]，則有P[0…f(j)+1]=P[j?f(j)…j+1]，因此f(j+1)=f(j)+1。
• 若P[j+1]≠P[f(j)+1]，則要從P[0…f(j)]中找出滿足P[f(j+1)]=P[j+1]的f(j+1)，從而得到P[0…f(j+1)]=P[j+1?f(j+1)…j+1]

其中，根據(jù)f(j)的定義有：

P[j]=P[f(j)]=P[f(f(j))]=?=P[fk(j)]

?

其中，fk(j)=f(fk?1(j))。通過上面的例子可知，函數(shù)fk(j)是隨著k遞減的，并最后收斂于-1。此外，P[j]與p[j+1]相鄰；因此若存在P[f(j+1)]=P[j+1]，則必有

f(j+1)=fk(j)+1

?

為了求滿足條件的最大的f(j+1)，因fk(j)是隨著k遞減的，故應為滿足上式的最小k值。

綜上，部分匹配函數(shù)的計算公式如下：

f(j)={fk(j?1)+1minkP[fk(j?1)+1]=P[j]?1else

?

代碼實現(xiàn)

部分匹配函數(shù)（失配函數(shù)）的C實現(xiàn)代碼：

int *fail(char *p) {int len = strlen(p);int *f = (int *) malloc(len * sizeof(int));f[0] = -1;int i, j;for(j = 1; j < len; j++) {for(i = f[j-1]; ; i = f[i]) {if(p[j] == p[i+1]) {f[j] = i + 1;break;}else if(i == -1) {f[j] = -1;break;}}}return f; }

KMP的C實現(xiàn)代碼：

int kmp(char *t, char *p) {int *f = fail(p);int i, j;for(i = 0, j = 0; i < strlen(t) && j < strlen(p); ) {if(t[i] == p[j]) {i++;j++;}else if(j == 0)i++;elsej = f[j-1] + 1;}return j == strlen(p) ? i - strlen(p) : -1; }

時間復雜度：fail函數(shù)的復雜度為O(p)，kmp函數(shù)的復雜度為O(n)，所以整個KMP算法的復雜度為O(n+p)。

3. 參考資料

[1] dekai,?Lecture 16: String Matching.
[2] E. Horowitz, S. Sahni, S. A. Freed, 《Fundamentals of Data Structures in C》.
[3] Jake Boxer,?The Knuth-Morris-Pratt Algorithm in my own words.

轉載于:https://www.cnblogs.com/yujihaia/p/7410410.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【模式匹配】KMP算法的来龙去脉的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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