我們經常干的一件事是把數變為關于圖的問題來解決，那么久了未免不會有這個疑問：能不能把圖變成數來解決問題？

所以有了這個purfer數列。

介紹一下這個數列有什么用（或者說有什么性質）：

能夠將一棵無根樹轉化成一個數列，且按這種編碼數列具有唯一性

2.給定一purfer數列，可以還原出原來的無根樹，且有且僅有一種方法。

那么這個數列是怎么形成的呢？下面來大概敘述一下整個過程：

（1） 生成數列：

選取此時樹上編號最小的葉子節點，刪除此節點且將此節點所連接的節點加入數列末端

不斷的重復上述操作，直到只剩兩個節點時停止該操作。

（所以一個purfer序列的長度應為n-2）

（2）還原無根樹：

設集合A = {1，2，3，...... ，n-1， n}

設purfer數列 a1， a2， ...... ， an

順次選出purfer數列首位元素，然后在集合A中選出另一元素與它相連邊

選出元素需滿足一下特點：

① 該元素此時不能在purfer序列中

② 該元素此時應在集合A中

③ 滿足以上兩條件的最小元素

不斷進行以上操作，知道purfer數列為空，此時A集合必然存在兩個元素，最后將這兩個元素連接起來，則此無根樹還原完畢。

具體樣例如下：

purfer編碼為 1 2 2

那么來思考幾個問題：

（1） 為什么此方法能夠還原？

我認為可以這樣想，首先（用上面的例子來說），你是先刪除了一個點3，然后再把這個點所連的一個點1加入purfer的。那么顯然你這個點3一定不在是、此時的purfer中，對吧？同樣的道理，無論什么時候，你purfer的首位所連接的數一定不在后面的隊列中（因為你要先刪除他，然后再把這個數所連接的數加入purfer），而由于我們每次都找的是編號最小的數，所以我們把有可能的數中找出最小數就好了，就能夠唯一確定了。而由于每個數最多只能被刪一次，所以A集合中的數用完之后就要刪去，他也只能被用一次。所以purfer中一共有n-2個數，就有n-2次操作，就連了n-2條邊。而你最后僅剩下的兩個數有且僅有一種選擇就是連最后一條邊，所以綜上就是n個點，連接n-1條邊，這必然就是一棵樹了。

（2）這樣還原的一個特殊性質：（雖然說是無根樹，我們假設它初具樹形233，就是假裝有兒子和父親節點）

有觀察可以得到，如果說一個點本來就是葉節點，那么他就悲劇了，他一來就直接被刪了，根本就沒有機會進入purfer；而如果像圖中的節點1就要稍稍幸運一些，他要在節點3被刪了以后才被刪，而節點3被刪時他就可以進入一次purfer數列；那么一個點什么時候會被刪呢？ 當然是他是葉子節點的時候，也就是度為1的時候；那么怎么才能成為葉子節點？很簡單，你的周圍所連接的其他兒子點都被解決之后你就成為了葉子節點；換句話說，假設你周圍有n個兒子節點，那么你就有n次進入purfer的機會，再進一步就可以得到一個很重要的結論：一個點的度數 = 它在purfer中出現的次數 + 1（它和父節點的連邊）

轉載于:https://www.cnblogs.com/LLppdd/p/8471439.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Purfer序列的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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