2017-12-13

首先是歐幾里得定理，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

證明一下吧 c=gcd(a,b) d=gcd(b,a%b) 假設a=b*k+t; k是商，t是余數 那么d=gcd(b,a%b)=gcd(b,t) 因為d|b,d|t，并且a=b*k+t 所以d|a，即d是a，b的公因數，即d小于等于c 又因為c|a,c|b，并且t=a-b*k 所以c|t，即c是b，t的公因數，即c小于等于d 所以說c==d的 或許我們大家都知道gcd(a,b)=gcd(|a|,|b|)，所以我們在求最大公約數 的時候a和b通常都是取正數的。 對于gcd(a,b)=gcd(b,a-b)(a>b)，這里可以用上述方法進行證明的。 我之前在《編程之美》上求解a與b的最大公約數中看到了三種解法，在這里簡單 的介紹一下吧。 （1）直接利用__gcd(a,b)，這是c++里面的庫函數，包含在頭文件<algorithm> 中，我查看了一下他的源碼，是用迭代的方法求解的。 類似于這個吧！ int gcd1(int x,int y){while(y){int r=x%y;x=y;y=r;}return x; } 當然，我們也可以用遞歸的方法 int dg1(int x,int y){return y==0?x:dg1(y,x%y); }（2）學過計算機組成原理的人都知道，求余操作耗時是比較長的，那么我們可以用 上面提到的減法操作，并且這種方法對于大整數也是可以求得的，代碼我就不贅述了。（3）不知道大家還記得這樣一個定理嗎？即gcd(a1*k,b1*k)=k*gcd(a1,b1)； 還有一個，如果說我們的b%k！=0，那么gcd(a*k,b)=gcd(a,b)。這里的證明我也 不是很清楚。 接下來我要介紹的方法就是和這個是有關系的，我們大家都知道，在計算機里位操作 是非常快的，左移<<相當于*2，右移>>相當于/2，是吧！那么我們可以利用移位操作 來加快我們的執行速度。直接看代碼吧！ int gcd(int x,int y){if (x<y) return gcd(y,x);if (y==0) return x;if (iseven(x)&&iseven(y)){return gcd(x>>1,y>>1)<<1;}if (iseven(x)){return gcd(x>>1,y);}if (iseven(y)){return gcd(x,y>>1);}else{return gcd(y,x-y);} } 對于最后一種情況x與y都是奇數的話，它們倆進行減操作，最后的結果一定是 一個偶數吧！還有，我們在判斷奇偶性的時候，只要看二進制表示的最后一位是 0還是1即可，所以就有了下面的代碼： bool iseven(int n){return !(n&1); } 這就是我介紹的三種方法。

接下來就是擴展歐幾里得了 ，說實話，我對這個模板并沒有很好的理解，我僅僅能夠按照他的代碼自己模擬，但是至于代碼怎么得來的以及它的證明過程我并不是很清楚。我參考的是我的一個同學的博客。
http://blog.csdn.net/yoer77/article/details/69568676

在數論中，裴蜀等式（英語：Bézout’s identity）或貝祖定理（Bézout’slemma）是一個關于最大公約數（或最大公約式）的定理。裴蜀定理得名于法國 數x和y的線性丟番圖方程（稱為裴蜀等式）： ax + by = m 有整數解時當且僅當m是d的倍數。 （這句話很關鍵，注意這里的'''當且僅當'''）裴蜀等式有解時必然有無窮多個整數解，每組解x、y都稱為裴蜀數，可用擴展 歐幾里得算法(Extended Euclidean algorithm)求得。 例如，12和42的最大公因數是6，則方程12x+42y=6有解。事實上有 (-3)×12 + 1×42 = 6及4×12 + (-1)×42 = 6。 特別來說，方程 ax+by=1 有整數解當且僅當整數a和b互素。 裴蜀等式也可以用來給最大公約數定義： d其實就是最小的可以寫成 ax+by形式的正整數。(這個定義的本質是整環中“理想”的概念。因此 對于多項式整環也有相應的裴蜀定理。) 擴展歐幾里得就是在求出gcd(a,b)的同時求出a*x+b*y=gcd(a,b)的一個解。 用類似輾轉相除法，求二元一次不定方程63x+22y=1的整數解。 首先 63=22*2+19 22=19*1+3 19=3*6+1 這里的1就是我們的最大公約數了 然后我們左右換個表示方式 19=63+22*(-2) 3=22+19*(-1) 1=19+3*(-6) 最后我們一步步的回帶進去 1=19+3*(-6) 1=19+[22+19*(-1)]*(-6) 1=19*7+22*(-6) 1=[63+22*(-2)]*7+22*(-6) 1=63*7+22*(-20) 這樣我們就求解出來了 x=7,y=-20 這就是我們所要求得的答案啊！ 設：a>b。 顯然當 b=0，gcd(a,b)=a。此時 x=1，y=0; ab!=0 時 對于一般的情況而言 a*x1+b*y1=gcd(a,b) 同時我們也可以得出 b*x2+(a%b)*y1=gcd(b,a%b) 由于 gcd(a,b)=gcd(b,a%b) 那么我們可以進一步得到 a*x1+b*y1=b*x2+(a%b)*y2，a%b=(a-a/b*b) 我們要知道，這里的a/b*b并不一定會等于a，因為我們并不一定會整除 啊！進一步得到 a*x1+b*y1=a*y2+b*(x2-（a/b）*y2) 這個等式要保證恒成立，那么 x1=y2，y1=x2-(a/b)*y2 所以我們就得到了遞推公式 但是我本人并不知道這個所以是如何的來的 遞歸的代碼 int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {if(b == 0){x = 1;y = 0;return a;}int r = exgcd(b, a%b, x, y)int t = y;y = x - (a/b) * y;x = t;return r; } 如有不理解，可以手動模擬一下，發現的確是這樣，但是還是覺得自己 對這個的理解不是很清晰。 擴展歐幾里得的非遞歸，據說是參考的這兩個鏈接 http://anh.cs.luc.edu/331/notes/xgcd.pdf http://math.cmu.edu/~bkell/21110-2010s/extended-euclidean.html 非遞歸的代碼 int exgcd(int m, int n, int &x, int &y) {if (n == 0) {x = 1; y = 0;return m;}int a, a1, b, b1, c, d, q, r, t;a1 = b = 1;a = b1 = 0;c = m; d = n;q = c/d; r = c%d;while (r) {c = d;d = r;t = a1;a1 = a;a = t - q * a;t = b1;b1 = b;b = t - q * b;q = c/d;r = c%d;}x = a; y = b;return d; } 我自己覺得這個的確很有道理，但是思維怎么就轉變不過來，還是看一個題目吧！ 題目鏈接 http://hihocoder.com/problemset/problem/1297 首先我們這道題目用的是擴展歐幾里得的方法求解的 題目輸入s1,s2,v1,v2以及m，其中m是石板的總數目，編號是0到 m-1，s1是第一個人的起始位置，v1是第一個人的步長，s2是第二個 人的起始位置，v2是第二個人的步長，我們假設第二個人比第一個人 多走了t圈然后和他相遇，假設第一個人走了k步，那么我們可以列出 等式 s1+v1*k=s2+v2*k-m*t， 其中我們只有k與t是變量 (v1-v2)*k+m*t=s2-s1 這樣我們是不是就把這個轉換為A*x+B*y=C了，我們令 A=v1-v2 B=m C=s2-s1 首先我們要明白一點，我們要保證A>0，那么如果A<0的話，那么我 們令A+m，在這里其實就是等同于v1-v2的值加上了m，其實這就等 同于每次多跳了一圈，對最后的結果是不影響的。 首先我們由上述定理可以得出，如果我們這里的C%gcd(a,b)不為 0的話，那么這個放方程是沒有解的。直接輸出-1。 否則的話，我們對A*x+B*y=C等式兩邊都除以gcd(a,b)，那么 我們就得到了A'*x+B'*y=C'，其中 A'=A/gcd(a,b)，B'=B/gcd(a,b)，C'=C/gcd(a,b) 其中A'與B'是互質的 我們根據擴展歐幾里得可以算出A'*x+B'*y=1的所有解，我們的 目標是A'*x+B'*y=C'，那么我們可以把得出的結果*C'，但是我 們盡管通過歐幾里得求得x的值，我們也不能保證x的值是我們想要 的最小的正整數，所以我們構建了x的解集 A'*x+B'*y=1 A'*x+B'*y+[u+(-u)]*A'*B'=1 轉化一下 A'*(x+u*B')+B'*(y-u*A')=1 那么 x=x+u*B' y=y-u*A' 那么我們把x與y進行相同的操作同樣也是這個方程的解，這就是 代碼中為什么會對求得的結果進行+B'的原因 給出代碼 #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std;typedef long long ll;ll exgcd(ll m, ll n, ll &x, ll &y) {if (n == 0) {x = 1; y = 0;return m;}int a, a1, b, b1, c, d, q, r, t;a1 = b = 1;a = b1 = 0;c = m; d = n;q = c/d; r = c%d;while (r) {c = d;d = r;t = a1;a1 = a;a = t - q * a;t = b1;b1 = b;b = t - q * b;q = c/d;r = c%d;}x = a; y = b;return d; }int main() {ll s1, s2, v1, v2, m;ll A, B, C;ll k, t;while(cin >> s1 >> s2 >> v1 >> v2 >> m){A = v1-v2;B = m;C = s2-s1;if (A < 0) A += B;ll d = __gcd(A, B);if (C % d) cout << -1 << endl;else {A = A/d;B = B/d;C = C/d;exgcd(A, B, k, t);k = (k * C) % B;while (k < 0) {k += B;}cout << k << endl;}}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的(扩展)欧几里得的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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