??????本篇文章討論定點數的運算。因作者水平有限，本文只討論補碼加減運算、原碼加減運算、原碼1位乘法運算、原碼除法。其余運算請參照其他高手的文章。下面我們開始吧！

運算硬件結構：
??????在計算機中，加減乘除四種運算實質上是由加法器和移位器組合完成。本文為便于讀者了解，在過程中附帶了幾張進行加減乘除運算的硬件結構圖。

??????對于無符號數來說，只存在進位借位，溢出沒有意義（在此訂正：對于無符號數而言，存在下溢，即兩個數相減，結果被被減數還要大，即發生下溢。判斷條件為CF為1）。對于有符號來說，每次進行運算時都要判斷是否發生溢出。

1. 補碼加減運算：

??????補碼加減的運算公式如下：

??????運算部件：

??????運算部件介紹：

?????????X,Y為兩個輸入，其中Y為加數，X為被加數。

???????? Sub代表是否具有減法運算（sub為1時為減法，為0時為加法）。 ZF(zero flag)代表結果是否為零（ZF為1時結果為0，為0時結果非零）。

????????OF（overflow flag）代表是否發生了溢出（OF為1是溢出，為0時未溢出）。注意此位對于帶符號運算有意義，無符號運算無意義。

????????SF（sign flag）代表結果的符號（SF為1代表負數，為0代表正數），注意此位對于帶符號運算有意義，無符號運算無意義。

????????CF（借/進位 flag）代表無符號數運算是否發生進位（加法）、借位（減法）。（CF為1代表加法有進位，減法有借位，為0代表運算正常）。 注意此位對于無符號運算有意義，帶符號運算無意義。

??????對于補碼加減法而言，將加數和被加數全部轉換成補碼進行運算即可，（減法轉變成加上相反數的補碼）。重點在于對是否溢出做判斷。無符號數的加減可以看作是正數補碼的加減（對于正數來說，補碼為其本身，并沒有改變數值，但此處不是十分確定，歡迎高手批評指正），故也能使用這種運算部件來判斷。

?????? 設運算數為a,b和為c：
??????一個比較簡單的方式就是：由于前后加減運算要求位數相同，如果a,b的符號位均為0或1，而c的符號與兩者相反，則此時一定發生溢出。（通俗的解釋就是正數加正數結果不可能為負數，負數加負數（負數減正數）結果也不可能為正數）。但計算機不能像人類這樣直觀的判斷，它憑借的還是前文所介紹運算結構的輸出，憑借以下兩種邏輯表達式進行判斷：

??????下面結合一個具體例子進行分析：

??????C(n)代表符號位進位，也是最高位進位，若未進位則此位為0。C（n-1）代表非符號最高位進位，若未進位為0。這兩個例子滿足兩個邏輯表達式。

2. 原碼加減：

??????原碼加減沒有補碼加減應用廣泛，原碼加減主要應用在浮點數做加減。原因是浮點數的尾數使用原碼表示。本文主要介紹定點數，對此貼張圖說明運算規則即可：

3. 原碼1位乘法：

??????運算結構如圖：

??????運算結構介紹：初始化被乘數在寄存器X中，對于N乘N來說結果是2N位。乘積寄存器P存儲結果高32位，寄存器Y原存儲乘數后存儲結果低32位。

??????值得注意的是對于乘法運算來說，任意一個乘數為0結果為0.所以在正式運算開始之前會進行一個預判，若有任意一個為0，則直接結果設置為0。同時兩個n位數相乘，所得結果為2n位。運算結束后，高n位為0表示正常，只保留低n位作為乘積結果。如果高n位不為0，則表示n位運算溢出。

??????結果的符號位由乘數及被乘數的符號位異或運算可得。本文主要介紹最終結果是如何得到的。

??????手寫的過程如下：

??????根據手寫的規律看，隨著每位的乘法，結果不斷向左移。

??????在計算機執行中，做了相應的一點改變以優化效率。為了減少對于過程中變量的存儲，選擇了保留部分積，即每次運算都在上一步得到的結果上進行操作。同時對變左移為對部分積的右移。若乘數位為1則加上被乘數后進行右移，若乘數為0則直接進行右移。下面結合一個具體的例子來進行分析：

??????例題中可知，符號位C即為和的進位，同時也作為P右移的補位，P中最低位進入Y中作為最高位。本題中只有四位，所以右移四位即可。在實際計算機中，右移的位數由計數器控制。

4. 原碼除法：

??????除法有規定，除數不能為零。所以計算機在執行過程中會先進行一個預處理，判斷如果除數為0，對于定點數來說C語言中會直接拋出異常。如果被除數為0，則直接輸出0。商的符號位是由兩數符號位異或操作獲得。
?????? 下面附帶一章代碼實例運行的圖說明定點數除數不可為0問題（輸出為空，拋出異常）：

??????運算結構如圖：

??????運算結構介紹：

?????????為了保證結果和輸入位數相同，對被除數做擴張至位數為2n。除數存儲在寄存器Y中，余數和商作為最終結果存儲在一起。在擴展的過程中如果是整數，在高位添加n個0。如果是小數，在低位添加n個0。（一定要記住，不要搞反）
?????????在手算除法中，每步都要進行一次嘗試，看目前的結果能否足夠除以除數，夠除商上1并將兩數做減。不夠除上0，除數右移。稱之為“上商”。具體手算過程如圖：

??????在計算機中，原除數右移變為固定除數而被除數左移。所以整個過程由加法和左移兩部分完成。

??????計算除法大致方法分為兩種：恢復余數法和加減交替法。兩種方法從原理上看，是相同的。只是對等式做了變形。下面對兩種方法進行具體介紹：

1）恢復余數法：

??????當部分商與除數做減后小于0，說明當前部分上不夠減需要向左移。那么先將減去的除數加回來恢復上一步的部分商再左移。如此循環下去，直到左移位數達到除數的位數即止。下面根據一個具體例子來進行分析：

??????本題是兩個小數之間進行除法運算，包括符號位共有5位，做擴展即在低位擴展5位。當每次和符號位為1時，則恢復余數后左移。整體共左移4次，最后一位補位即可不需左移。

2） 加減交替法：

??????加減交替法是根據部分商的正負決定是加Y還是減Y，當部分商小于0時則加Y，當部分商大于零時則減Y。這里的部分商指的是移位之前的部分商。每次進行完加法后先進行移位，在加或者減，下面結合上文提到的例子來分析：

??????在本例中每次加法過后，則進行加Y/減Y。最終四次移位五次補位后得到結論。

??????在本文末尾介紹一下異常：
異常不同于BUG，是無法被編譯器檢驗出來的。會通過不合理的輸出反應。異常出現的幾種情況：
??????1）定點數運行時產生除零的情況
??????2）需要打開的文件不存在
??????3）數組訪問時越界
??????對異常部分參照博客：https://blog.csdn.net/small_prince_/article/details/80533159link

??????本文介紹的定點數運算至關重要，它直接關系到浮點數的正常運算。只有理解定點數，才能更好的明白浮點數。加油呦~

總結

以上是生活随笔為你收集整理的定点数运算的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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