??????研究算法的目的就是以設計時間復雜度更小的算法，但要想對算法進行優化必須學會計算每一個步驟的算法大小，進而從中尋找可以縮減的位置。為了計算每一步，有必要掌握一些基本的數學知識，有句話說過：數學水平在一定程度上決定了計算機的高度。

??????對于大多數算法而言，都應用到了for/while循環。在循環不斷進行的過程中，每次運行循環體內基本操作的執行次數都是不同的。想要將每一次的結果相加，就相當于是不規則數的相加，也就是“求和”。同時，大多數算法使用遞歸方法，雖然遞歸有很多隱形的壞處，但是表達十分清晰，也常常被使用。給定遞歸式，尋找到所需總時間和輸入N的關系，也是十分重要的。對數學能力的要求也是非常高的。下面從上文提及的兩方面展開，分別談論所需要的一些數學知識。

2.1集合，關系和函數

?????? 集合是數學中基礎的概念，在集合之上定義了很多集合的操作（交，并，補）。以集合為基礎設計的算法也有很多，例如：并查集（克魯斯卡爾算法求解最小生成樹）等等。關系是以集合依據的，多說一個在集合上的關系。關系的內容也有很多，例如等價關系，傳遞關系等等。相對詳細的內容可以在離散數學中學到。函數可以理解成一種二元關系（x和y之間），一定是每一個x，有一個y與之對應，否則不可以被稱作函數。根據像和原像的關系，函數還可以被分為單射（所有x都有對應且對應不同的y），滿射（所有的y都具有原像），同時滿足單射和滿射的叫做雙射。

2.2證明

??????證明是算法中很常見的考察方法，例如課后題中就包括很多時間復雜度的證明。在學習算法之前，我們已經學習了離散數學。我認為離散數學的一個教學目標就是教如何使用符號做證明，使證明過程更清晰易懂。證明的方法大概可以分成五種：

??????1）直接證明法：從現有條件出發，使用定理或者公理，最終得出想要的結論。直接證明也有兩種方向，可以從條件證結論，也可以從結論證條件。要求過程中的每一個步驟都必須是充要條件。

??????2）間接證明法：證明原來命題的逆否命題成立。或者從中間出發，向兩頭延伸，最終得到條件和結論。

??????3）反證法：是一種常用的證明方法，當結論有明顯的一個方向的傾向時可以使用反證法。假設結論不成立，推導和條件之間的矛盾。

??????4） 反例證明法：反例證明法往往用于結論已經明確。舉出一個錯誤不滿足明確的關系，即可證明。大多數情況下，反例很難被列舉出來。

??????5）數學歸納法：數學歸納法常用于正確結論已經知道，但是需要詳細的過程進行推導。具有相對固定的模板，已知n=1時成立，假設n=k時成立，通過n=k式子的變形推導出n=k+1也同樣成立。

2.3對數

??????在算法分析中很多時間復雜度是和和㏒n有關的（在計算機中所有的對數函數的都是以2為底的），關于對數有計算公式如下：

2.4頂函數與底函數

??????在算法中常常會對整數做除以2的操作，但此時如果不知道整數的奇偶性，就會出現小數。為了進一步明確范圍，會使用頂函數和底函數。頂函數是大于等于x的最小整數，底函數是小于等于x的最大整數。
??????關于頂函數和底函數有以下重要等式：

2.5階乘和二項式系數

??????階乘來源于排列，表示第一個位置有多少種排法，進而第二個位置有多少種排法，依此類推。常用大寫P表示，階乘的時間復雜度是很高的，經常的表示公式為：

??????二項式系數來源于組合。組合即不考慮順序，是階乘的推廣。重要的是組合數公式：

2.6鴿巢原理

??????鴿巢定理講的是一定分配的必然性，比如十一只鴿子進入十個洞穴，必然至少有兩個鴿子在其中一個洞穴。從至多至少兩個角度，可得如下公式：

2.7和式

??????和式有以下公式：

??????當被加式子不再只取整數，而變成一個函數時，需要使用積分的知識求解。可以使用不等式來確定上下界，當左右兩式達到相同的數量級時，就證明了時間復雜度。

2.8遞推關系：

??????遞推關系用于計算遞歸函數的時間復雜度，分為以下幾類：
??????對于齊次和非齊次的定義是由如下式子決定的:

??????1）線性齊次遞推式（實例見書P53頁）：

??????2）非齊次遞推關系（實例見書P55頁）：

??????3）分治遞推關系：
??????在算法中，對很多大規模都會采用分治思想，將時間復雜度不斷細分再將更小規模整合，其中二分法是最常見的。

??????分治遞推關系主要有三種方法求解：

????????（1）展開遞推式（具體見書P57）：
???????? 將遞推式不斷展開，直到某已知項，多為f(1)/f(0)。但展開遞推式存在若干缺點：有些情況下耗時，呆板，也容易出現計算錯誤。

????????（2）代入法（具體見書P59）
????????這種方法，通常用來證明上下界，也可證明精確解。需要猜想一個解，結合數學歸納法求出所設的參數值。對于猜想的解是依靠經驗或者之前學過的一些定理或者推論。

????????（3）更換變元（具體見書P62）
????????更換變元可以是用指數函數代替原來的分子分母式，盡力轉化成前面齊次的形式在進行求解。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数学预备知识的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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