1.有一張無向圖，現在要給每個點染上黑色或白色，最后每個點的染色代價是它與離這個點最近的不同色節點的距離。求最小代價。所有邊權$\geq 0$且互不相同。

分三種情況：

兩點都染了色：兩點都跟其它點算過最小距離了，不用管。

一點染了色：相當于擴展連通塊，染了色的點向沒染色的點擴展染色，顏色相同。

兩點都沒染色：兩點直接相連（且邊長是最短距離）。

?

2.題目大意同上，求得到最小代價的方案數。

0的邊兩邊的點有多少個子樹，方案數就累加上2的多少次方。

?

?

3.一張無向圖，給每條邊染兩種顏色之一，使每個度大于等于2的點都連接兩種顏色的邊。問能否做到。Yes或No。

首先光禿禿的偶環（奇數條邊）肯定無解（發芽就有解了），光禿禿的奇環（偶數條邊）肯定有解（不知道這個結論的可以跳過這題了）。

環？想到了樹。

可以先把這張圖取出$n-1$條邊，讓整張圖構成一棵樹，

我們知道，樹中只有三種邊：樹邊（圖中黑邊）、回邊（返祖邊）（圖中紅邊）、跨邊（有向圖特有）。

對于樹上任意的度$\ge 2$ 的點，它的兩邊染上不同的顏色即可，如果再有一條返祖邊連向它，這條新邊染什么顏色都可以，必定能滿足另一頭的要求。

但對于度為 $1$ 的點呢？根和葉子結點都是度為1的點，這時候我們就要跑這個環。

只有這個環本身（即不算發芽）有偶數個點且發芽的情況需要我們考慮是否有解。

其實這就是偶環上發芽的情況。如圖

那么發芽點在原環上的兩條相鄰邊就可以染成同色，然后把另一種顏色染到芽上。

但如果發的芽下面也有邊連向了入讀為1的邊呢？

如果新連出來的環還是偶環，好像依然不可行。

?

那什么情況下可行？如下。

只要偶環與奇環相套，至少就可以從發芽點把另一種顏色沿著芽流出去了。

結合這么一個知識：偶環套偶環=偶環

可得：只有整張圖只要存在純偶環（就是不與奇環相套的偶環）就無解，否則有解。

所以這是個結論題，以上都是推導，并非題解。

題解的話就再扯點沒用的（找純偶環的方法）：去掉奇度點（它們是整張圖的芽，處于被動染色狀態，環上芽才是主動），把圖的剩余部分做Tarjan求無向圖強連通分量（MD準確地說是邊雙連通分量）。在每一個分量中任選一個起點，看是否存在經過偶數條邊回到起點的方案。如果存在，說明存在奇環，這個強連通分量滿足條件。如果所有的強連通分量都滿足條件，說明圖中不存在純偶環，有解。否則存在純偶環，無解。

?

4.有向圖，邊權只有0和1，求單源最短路。（線性算法）

我們都知道，廣搜時總是取出隊列中的第一個數。求最短路情況下，為了讓更新盡量有意義，我們當然希望先從隊列中取出（目前更新的）到起點距離盡量小的，這樣可以盡量多地更新它周圍點的最短路。

然后這題邊權只有0和1，我們甚至不用寫單調隊列，如果按照上述貪心取法，我們發現廣搜隊列中 前面一段的距離值 與 后面一段的距離值 的差值不超過1。

為什么呢？

因為我們要取出到起點距離盡量小的，所以總是會取距離值相對較小的。并且更新時邊權只會是0或1。

結合數學歸納法可知，

一開始隊列中只有起點，距離為0，隊列中距離值的差為0。

然后更新了周圍的點，有些點的距離值更新為0，有些點的距離值更新為1。

然后我們一直更新 距離值為0的點 的周圍的點，直到隊列中所有點的距離值都為1。

此時已經不存在未被更新過的到起點距離為0的點了（廣搜常識）。

此時隊列中所有點的距離值是1。

然后把1當成之前的0，接下來更新出的距離值2當成之前的1，就歸納為一樣的步驟了。

由此證明這樣做的廣搜隊列中 前面一段的距離值 與 后面一段的距離值 的差值不超過1。

然后邊權還只有0和1，隊列操作比較簡單，把通過權值為0更新的點接到隊頭，通過權值為1更新的點放到隊尾即可。隊頭的點的距離值就是相對較小的。

?

拓展：有向圖，邊權只有0~20，求單源最短路。

把隊列分割成21個桶，每個桶依次存$x,x+1,...,x+20$這21個距離值。廣搜時不停取第一個桶中的點，把被該點更新距離的點 放到對應距離值的桶里。如果第一個桶中沒有點，就把所有桶存放的距離值上調至使第一個桶中有點。

易證點肯定有桶放。

?

5.每個點有一個（開采礦物的）費用，邊權依然只有0和1，求分別開采每個點的礦物時的最小費用。

?

6.執行k個操作，每個操作連接兩個點，問每個操作后圖中有多少條割邊。（LCT會超時）

邊雙連通（環）的情況下給圖縮點，這個圖會變成一個森林。森林之間的每條邊都是一條割邊。因此用兩個并查集維護，一個維護每個連通塊的點，另一個維護每個邊雙連通塊的點。

轉載于:https://www.cnblogs.com/scx2015noip-as-php/p/9737138.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【2018.10.2】Note of CXM的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。