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Pythagoras theorem（勾股定理）

一個直角三角形中，兩個直角邊邊長的平方加起來等于斜邊長的平方。 如果設直角三角形的兩條直角邊長度分別是a和b，斜邊長度是c，那么可以用數學語言表達：

 a2+b2=c2 滿足這個等式且沒有公因數的的三元數組（a,b,c）稱為勾股數。 可證a、b兩個數必然一奇一偶，證明如下： 如果數a,b都是奇數，則數c必為偶數?？稍Oa=2x+1,b=2y+1,c=2z,有 (2x+1)2+(2y+1)2=(2z)2 展開化簡得到下式： 2x2+2x+2y2+2y+1=2z2 上式左邊為奇數，右邊為偶數，等式顯然不成立； 如果數a，b都是偶數，意味著c也是偶數。此時a,b,c都可以被2整除，此時a,b,c不互質。 證畢。 ———-

定理

由a2+b2=c2可得a2=(c?b)(c+b)
??假設存在一個數d是(c-b),(c+b)的公因數，即d可以整除(c-b)和(c+b)，則d也可以整除

（c+b）+（c-b）= 2c 與 （c+b）-（c-b）= 2b

??故d整除2b和2c.而b、c沒有公因數，因為我們假設（a,b,c）為本原勾股數組，可以得出d一定是1或2。但d也整除(c+b)(c?b)=a2 且a為奇數，所以d只能為1，所以(c-b),(c+b)沒有公因數。
?? 現在我們知道c-b與c+b沒有公因數且a2=(c?b)(c+b) ,所以c-b,c+b的積是平方數，當且僅當c-b和c+b本身都是平方數。記

c+b=s2 , c?b=t2
其中s>t?1 為沒有公因數的奇數。關于b和c解方程組得

c=s2+t22 , b=s2?t22

于是???????????????????? a=(c+b)(c?b)???????????√=st

所以有以下定理

Pythagorean Triples  Theorem：We will get every primitive Pythagorean triple(a,b,c) with a odd and b even by using the formulas:

a=st， b=s2?t22， c=s2+t22(s>t?1)

通過這個公式，取不同s，t的值便可生成不同的勾股數。

下表為s?9 的所有勾股數

sta=stb=s2?t22c=s2+t22

3	1	3	4	5
5	1	5	12	13
7	1	7	24	25
9	1	9	40	41
5	3	15	8	17
7	3	21	20	29
7	5	35	12	37
9	5	45	28	53
9	7	63	16	65

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轉載于:https://www.cnblogs.com/vocaloid-fan1995/p/10363838.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数论概论学习笔记（一）——勾股数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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