樹的基本術語

1.結點:{數據元素+若干指向子樹的分支}

2.結點的度:分支的個數（子樹的個數）

3.樹的度:樹中所有結點的度的最大值

4.葉子結點:度為零的結點

5.分支結點:度大于零的結點(包含根和中間結點)

6.(從根到結點的)路徑：由從根到該結點所經分支和結點構成;

7.結點的層次:假設根結點的層次為1,則根的孩子為第2層，如果某節點在第L層,則其子樹的根在L+1層。

8.樹的深度:樹中葉子結點所在的最大層次;

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二叉樹

? ? 二叉樹或為空樹，或是由一個根結點加上兩棵分別稱為左子樹和右子樹的、互不交的二叉樹組成。(樹的度最大為2)

二叉樹的重要性質:

性質1:在二叉樹的第i層上至多有2^(i-1)個結點(i≥1);

性質2:深度為?k?的二叉樹上至多含?(2^k)-1個結點(k≥1);

性質3:對任何一棵二叉樹，若它含有n0?個葉子結點（0度結點）、n2?個度為?2的結點，則必存在關系式：n0?=?n2+1。

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兩類特殊的二叉樹:

? 滿二叉樹:指的是深度為k且含有(2^k)-1個結點的二叉樹。

? 完全二叉樹:樹中所含的?n?個結點和滿二叉樹中編號為?1?至?n?的結點一一對應。(編號的規則為，由上到下，從左到右。如上圖所示)

? ? 完全二叉樹的特點：

1.葉子節點出現在最后2層

2.對于任意結點，若其右分支下的子孫的最大層次為L,則左分支下的子孫的最大層次為L或L+1;

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性質4:具有n個結點的完全二叉樹的深度為[logn](向下取整)+1。

性質5:若對含?n?個結點的完全二叉樹從上到下且從左至右進行?1?至?n?的編號，則對完全二叉樹中任意一個編號為?i?的結點：

(1)?若?i=1，則該結點是二叉樹的根，無雙親，否則，編號為?[i/2](向下取整)的結點為其雙親結點；
(2)?若?2i>n，則該結點無左孩子，否則，編號為?2i?的結點為其左孩子結點；
(3)?若?2i+1>n，則該結點無右孩子結點，否則，編號為2i+1?的結點為其右孩子結點。

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二叉樹的鏈式存儲實現

說明:

? ? 由于這篇博客僅僅是為了演示二叉樹的理論,?因此代碼所做的封裝性以及可用性都不理想,?但由于在實際應用中,?也基本上不可能這樣直接的使用二叉樹,?因此也就沒怎么優化他,?在此首先給大家說聲抱歉;

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二叉樹節點構造

template <typename Type> class TreeNode {friend class BinaryTree<Type>; //因為此處僅僅是為了演示, 因此將之定義為public public:TreeNode(const Type &_data = Type(), TreeNode *_left = NULL, TreeNode *_right = NULL): data(_data), leftChild(_left), rightChild(_right) { }Type data;TreeNode *leftChild;TreeNode *rightChild; };

二叉樹構造:

template <typename Type> class BinaryTree { public://二叉樹可以進行的操作BinaryTree():root(NULL) {}bool isEmpty() const{return root == NULL;}//先序遍歷void preOrder() const{return preOrder(root);}//中序遍歷void inOrder() const{return inOrder(root);}//后續遍歷void postOrder() const{return postOrder(root);}//層次遍歷void levelOrder() const;private:void preOrder(const TreeNode<Type> *rootNode) const;void inOrder(const TreeNode<Type> *rootNode) const;void postOrder(const TreeNode<Type> *rootNode) const;void visit(const TreeNode<Type> *node) const;//因為此處僅僅是為了演示, 因此將之定義為public public:TreeNode<Type> *root; };

先(根)序的遍歷算法：

1.若二叉樹為空,則直接返回;

2.否則

? ? (1)訪問根結點(visit);

? ? (2)先序遍歷左子樹;

? ? (3)先序遍歷右子樹;

//實現 template <typename Type> void BinaryTree<Type>::preOrder(const TreeNode<Type> *subTree) const {if (subTree != NULL){visit(subTree);preOrder(subTree->leftChild);preOrder(subTree->rightChild);} }

中(根)序的遍歷算法：

1.若二叉樹為空樹，則空操作；

2.否則

? ? (1)中序遍歷左子樹；

? ? (2)訪問根結點；

? ? (3)中序遍歷右子樹。

//實現 template <typename Type> void BinaryTree<Type>::inOrder(const TreeNode<Type> *subTree)const {if (subTree != NULL){inOrder(subTree->leftChild);visit(subTree);inOrder(subTree->rightChild);} }

后(根)序的遍歷算法：

1.若二叉樹為空樹，則空操作；

2.否則

? ? (1)后序遍歷左子樹；

? ? (2)后序遍歷右子樹；

? ? (3)訪問根結點。

//實現 template <typename Type> void BinaryTree<Type>::postOrder(const TreeNode<Type> *subTree)const {if (subTree != NULL){postOrder(subTree->leftChild);postOrder(subTree->rightChild);visit(subTree);} }

層次遍歷算法與visit操作：

template <typename Type> void BinaryTree<Type>::levelOrder() const {std::queue< TreeNode<Type>* > queue;queue.push(root);while (!queue.empty()){TreeNode<Type> *currentNode = queue.front();queue.pop();visit(currentNode);if (currentNode->leftChild != NULL)queue.push(currentNode->leftChild);if (currentNode->rightChild != NULL)queue.push(currentNode->rightChild);} }template <typename Type> void BinaryTree<Type>::visit(const TreeNode<Type> *currentNode) const {cout << currentNode->data << ' '; }

二叉樹構造與運用示例

構造一顆如下的二叉樹:

//代碼如下 int main() {BinaryTree<char> tree;TreeNode<char> addition('+'), subtraction('-'), multiplies('*'), divides('/');TreeNode<char> a('A'), b('B'), c('C'), d('D'), e('E');tree.root = &addition;addition.leftChild = &subtraction;addition.rightChild = &e;subtraction.leftChild = &multiplies;subtraction.rightChild = &d;multiplies.leftChild = ÷s;multiplies.rightChild = &c;divides.leftChild = &a;divides.rightChild = &b;cout << "preOrder: ";tree.preOrder();cout << endl;cout << "inOrder: " ;tree.inOrder();cout << endl;cout << "postOrder: ";tree.postOrder();cout << endl;cout << "level Order";tree.levelOrder();cout << endl;return 0; }

遍歷算法的應用舉例

? ? 1.統計二叉樹中葉子結點的個數(先序遍歷)

? ? 2.求二叉樹的深度(后序遍歷)

? ? 3.復制二叉樹(后序遍歷)

轉載于:https://www.cnblogs.com/itrena/p/5926990.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数据结构基础(16) --树与二叉树的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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