多重背包問題：

　　有n件物品，第i件價值為wi,質量為vi,有c1件，問，給定容量V，求獲得的最大價值。

　　

樸素做法：

　　視為0,1,2，...,k種物品的分組背包 [每組只能選一個]

　　f[i][j]=Max(f[i][j-k*v[i]]+k*w[i])

　　但是i,j,k都要枚舉，復雜度為 n*V*k

?

樸素做法的改進：

　　因為發現用二進制可以表示1..k之內的所有數 [整數二進制打開后為01串，所以可以被二進制表示]

　　所以將k個物品拆分成1,2,4...2^m,k-2^m ? ( 其中2^m<=k<2^(m+1) ) 這些物品，然后變成01背包問題。

　　但是n的數目增多了，復雜度為 n*V*logk

?

利用單調隊列的改進：

　　1.我們可以發現每個容量都能表示成 v*x+d 的形式[ v表示當前考慮的物品的容量 ]

　　2.在上一點的啟發下，我們發現一個f[v*x+d]在考慮當前物品時，只能由f[v*y+d]轉移而來。 [其中x-y<=k]。

　　也就是說，對v取模的余數相同的容量之間才能互相轉移，而且要求x-y<=k。又因為求的是最大值的轉移，所以滿足單調隊列的適用性。

　　于是乎，我們對于余數d相同的容量分別建一個單調隊列，然后枚舉x f[x*v+d]，進行轉移即可。

　　

1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 4 inline int in(){ 5 int x=0,flag=1;char ch=getchar(); 6 while(ch!='-' && (ch>'9' || ch<'0')) ch=getchar(); 7 if(ch=='-') flag=-1,ch=getchar(); 8 while(ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar(); 9 return x*flag; 10 } 11 12 int a[200005],b[200005],f[200005]; 13 int w,v,k,n,V,l,r; 14 15 void insert(int x,int y){ 16 while(l<=r && b[r]<=y) r--; 17 a[++r]=x; b[r]=y; 18 } 19 20 inline int Max(int a,int b){ 21 if(a>b) return a;return b; 22 } 23 24 int main(){ 25 n=in(),V=in(); 26 int Lim; 27 for(int i=1;i<=n;i++){ 28 v=in();w=in();k=in(); 29 if(k==1){ 30 for(int j=V;j>=v;j--) 31 f[j]=Max(f[j],f[j-v]+w); 32 continue; 33 } 34 else if(k<0){ 35 for(int j=v;j<=V;j++) 36 f[j]=Max(f[j],f[j-v]+w); 37 continue; 38 } 39 if(V/v<k) k=V/v; 40 for(int d=0;d<v;d++){ 41 l=1,r=0;Lim=(V-d)/v; 42 for(int x=0;x<=Lim;x++){ 43 insert(x,f[x*v+d]-x*w); 44 if(a[l]<x-k) l++; 45 f[x*v+d]=b[l]+x*w; 46 } 47 } 48 } 49 printf("%d",f[V]); 50 return 0; 51 } View Code

codevs 3269 混合背包

AC通道：http://codevs.cn/problem/3269/

轉載于:https://www.cnblogs.com/Robert-Yuan/p/4852423.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的O(V*n)的多重背包问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。