把一個幾何問題轉換為可以運行的程序，通常需要這樣幾步：
幾何--> 代數-->算法-->程序

計算機并不理解幾何概念，為了讓計算機幫助我們求解幾何問題，需要如下幾步：首先需要把幾何問題轉換成用數字表達的代數問題，然后根據幾何的代數表示設計合適的求解算法，最后根據算法編寫程序。這個過程貌似很簡單，其實每一步都一項極具困難并富于挑戰的任務。

幾何-->代數

當思考一個幾何物體時，即使是簡單的點或線，我們通常在腦海中想一下它們的形狀。為了讓計算機能夠處理幾何物體，就需要一個計算機能夠處理它的表達(representation)形式。例如,一個三維空間的點(2.5, 0.0, -4.0), 一個xy坐標平面的直線等式 3x-5y+3=0。

一個幾何物體的表示形式通常并不唯一。以圓為例，它的隱式方程為 x^2 + y^2 = 1，用三角函數表示的參數化形式為: x = cos(t); y = sin(t); 0<= t < 360;

有些幾何體甚至需要復雜的數據結構來表示其所有的細節，如多面體( Polyhedron)。因此尋找一種好而合適的表達形式也是極具挑戰。

代數--> 算法
找到了幾何體的代數解釋的表達形式后，下一步就要尋找算法來處理該表達式和方程。這個過程或難或復雜，完全取決于需要解決的問題。但我們可以有這樣幾種方法：

• 符號計算（symbolic computation)
  • 符號系統可以得到符號解。例如用符號系統來求解二次方程(quadratic equation) Ax2+Bx+C=0; 可以得到它的根的等式：root1 = (-B+SQRT(B²-4*A*C)/(2*A); root2 = (-B-SQRT(B²-4*A*C)/(2*A)。
  • 符號計算可以給出用一個或多個公示表示的閉合形式解(closed-form solutin) - 一個能直接計算級數和或遞歸結果的等式。
• 數值計算(Numerical Computation)
  • 如牛頓迭代法
  • 若初始值不合適，有時候會導致找不到解。
• 近似( Approximation)
  • 為了節省時間，可以只求近似解。

有時候可以聯合用來求解問題。

算法-->程序
算法有了，程序還難實現嗎？ 幾何問題太復雜了 維度復雜性
空間中的幾何對象比平面上的幾何對象更復雜，這一點毋庸置疑。一方面是由于許多幾何屬性只有在空間上講才有意義，比如空間中一條延Z軸扭曲的曲線；另外一方面空間中可以表示更多的幾何對象，如曲面。

分析復雜性
確切的說是方程式的復雜性。例如：
一次、二次、三次、四次、五次多項式。兩個多項式相除又可以表示為有理多項式(rational Polynomials)
三角函數
另外僅從方程式我們不能直接看出其幾何形狀。
幾何對象之間關系計算：求交點，判斷是否平行/垂直等

組合復雜性
一個多項式需要若干個參數表示，如:
? Ax2+Bxy+Cy2+Ex+Ey+F=0
? Ax3+Bx2y+Cxy2 +Dy3+Ex2+Fxy+Gy2+Hx+Iy+J=0
隨著多項式次數的增加，需要的參數也越來越多。

浮點數計算
計算機處理float,double值時，由于其內部的有限的精度表示形式（科學計數法）不可避免的會引入誤差。
而幾何計算又通常需要進行浮點數運算。為了將誤差的影響減少至最低，需要盡量在算法或多項式的表示形式上下工夫。

轉載于:https://www.cnblogs.com/wuwuwu/archive/2008/08/29/6335188.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的一起复习几何(1)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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