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密码学二次剩余困难性问题The Quadratic Residuosity Problem

發(fā)布時間：2025/3/15 编程问答 19 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了密码学二次剩余困难性问题The Quadratic Residuosity Problem 小編覺得挺不錯的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個參考.

注：需要有密碼學基礎(chǔ)才能看懂，全文以N=21舉例
基礎(chǔ)推導(dǎo)：
假設(shè)模數(shù) $N=p?qN=p\cdot q$ 。p和q是兩個不同的奇素數(shù)，N是一個Blum Integer(參考鏈接)。舉例N=21(p=3,q=7). $Z_N^{*}$ 是他的簡化剩余系。則 $Z_N^{*}$ 含有 $(p?1)?(q?1)(p-1)\cdot (q-1)$ 個元素(原理：歐拉函數(shù)).
$N=21,?(N)=2?6=12,ZN?={1,2,4,5,8,10,11,13,16,17,19,20}.N=21,\phi (N)=2*6=12,Z_N^{*} = \{ 1,2,4,5,8,10,11,13,16,17,19,20\}.$
根據(jù)Chinese remainder theorem(中國剩余定理)，我們可以作如下映射 $x \to (x m o d p, x m o d q)$ ,且是雙射。
上面 $Z_N^{*}$ 的點則變?yōu)榱?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline"> ${ (1,1),(2,2),(1,4),(2,5),(2,1),(1,3),(2,4),(1,6),(1,2),(2,3),(1,5),(2,6)\}.$ 這個點構(gòu)成的 $Z_N^{*}$ 同樣構(gòu)成乘法群。(1)封閉性， $x=(xp,xq),y=(yp,yq).z=(xp?ypmodp,yp?yqmodq).如果x,y屬于ZN?那么xp,xq,yp,yq均為非零元，可知zmodp,zmodq同樣為非零元。x=(x_p,x_q),y=(y_p,y_q).z=(x_p \cdot y_p mod p,y_p\cdot y_q mod q).如果x,y屬于Z_N^{*} 那么x_p,x_q,y_p,y_q均為非零元，可知z mod p,z mod q同樣為非零元。$ (2)單位元(1,1).(3)逆元滿足。所以是一個群。

如果 $r=x^{2} mod N$ 是二次剩余，且是 $Z_N^{*}$ 中的元素，那么他在 $Z_N^{*}$ 中有四個平方根。
$x_p=x mod p,x_q =x mod q$ $x_1=(x_p,x_q)$ $x_2=(-x_p,x_q)$ $x_3=(x_p,-x_q)$ $x_4=(-x_p,-x_q)$
$x_1^{2} =x_2^{2} =x_3^{2} =x_4^{2}=r mod N$
因此這四個均是r不同的平方根。
可知在 $Z_N^{*}$ 中有 $(p?1)?(q?1)/4(p-1)\cdot (q-1)/4$ 個元素是二次剩余。( $Z_N^{*}$ 有 $(p?1)?(q?1)個元素，每一個二次剩余在(p-1)\cdot (q-1)個元素，每一個二次剩余在$ Z_N^{*} $中有四個平方根，因此有(p?1)?(q?1)/4個元素是二次剩余中有四個平方根，因此有(p-1)\cdot (q-1)/4個元素是二次剩余$ )
在 $Z_{21}^{*}$ 中：
$1,1)^{2}=(1,1) mod 21,(2,2)^{2}=(1,4) mod 21,(1,4)^{2}=(1,2) mod 21,(2,5)^{2}=(1,4) mod 21剩下的自行計算總之最后結(jié)果為\{ (1,1),(1,4),(1,2)\}三個平方剩余$

困難性問題：如果存在一個算法A能以多項式時間t，以概率 $≥ξ\geq \xi$ 尋找以模為N=pq的二次剩余，那么存在算法 $A^{*}$ 以時間 $t+O(log N)^{O(1)}$ ,以概率 $≥ξ2\geq \frac{\xi}{2}$ 分解N。證明略。

參考資料：
1.The Group of Signed Quadratic Residues and Applications(Dennis Hofheinz and Eike Kiltz)
2.Notes on Zero Knowledge（Professor Luca Trevisan）
3.https://math.stackexchange.com/questions/1090675/blum-blum-shub-pseudorandom-numbers-clarification-on-prerequisites
4.https://crypto.stanford.edu/pbc/notes/numbertheory/crt.html
5.https://brilliant.org/wiki/legendre-symbol/

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的密码学二次剩余困难性问题The Quadratic Residuosity Problem的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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