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写给中学生的算法入门：学代码之前看这篇就够了

發(fā)布時間：2025/3/15 25 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了写给中学生的算法入门：学代码之前看这篇就够了小編覺得挺不錯的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個參考.

導(dǎo)讀：本文內(nèi)容主要源自德語大學中發(fā)起的科普活動，初衷是讓高中生領(lǐng)會算法和計算機科學的奇妙與魅力。閱讀本文不需要任何關(guān)于算法和計算的預(yù)備知識。我們希望不僅學生，而且包括希望了解迷人的算法世界的成年人都能從本書中得到啟發(fā)與樂趣。

作者：Thomas Seidl,?Jost Enderle,?Wolfgang P. Kowalk,?Berthold V?cking

本文摘編自《無處不在的算法》，如需轉(zhuǎn)載請聯(lián)系我們

00 算法的應(yīng)用

最近幾十年來許多技術(shù)創(chuàng)新和成果都依賴于算法思想，這些成果廣泛應(yīng)用于科學、醫(yī)藥、生產(chǎn)、物流、交通、通信、娛樂等領(lǐng)域。高效的算法使得你的個人電腦得以運行新一代的游戲，這些復(fù)雜的游戲在幾年前可能都難以想象。

更重要的是這些算法為一些重大科學突破提供了基礎(chǔ)。例如，人類基因組圖譜解碼得以實現(xiàn)與新算法的發(fā)明是分不開的，這些算法能將計算速度提高幾個數(shù)量級。

算法告訴計算機如何處理信息，如何執(zhí)行任務(wù)。算法組織數(shù)據(jù)，使得我們能有效地搜索。如果沒有聰明的算法，我們一定會迷失在互聯(lián)網(wǎng)這個巨大的數(shù)據(jù)叢林中。

同樣，如果沒有天才的編碼和加密算法，我們也不可能在網(wǎng)絡(luò)上安全地通信。天氣預(yù)報與氣候變化分析也依靠高效模擬算法。

工廠生產(chǎn)線和物流系統(tǒng)有大量復(fù)雜的優(yōu)化問題，只有奇巧的算法能幫助我們解決。甚至當你利用GPS尋找附近的餐廳或咖啡館時，也要靠有效的最短路計算才能獲得滿意的結(jié)果。

并非像很多人認為的，只有計算機中才需要算法。在工業(yè)機器人、汽車、飛機以及幾乎所有家用電器中都包含許多微處理器，它們也都依賴算法才能發(fā)揮作用。例如，你的音樂播放器中使用聰明的壓縮算法，否則小小的播放器會因為存儲量不足而無法使用。

現(xiàn)在的汽車和飛機中有成百上千的微處理器，算法能幫助控制引擎，減少能耗，降低污染。它們還能控制制動器和方向盤，提高穩(wěn)定性與安全性。不久的將來，微處理器可能完全替代人，實現(xiàn)汽車的全自動駕駛。目前的飛機已經(jīng)能做到在從起飛到降落的全過程中無須人工干預(yù)。

算法領(lǐng)域最大的進步都來自美好的思想，它指引我們更有效地解決計算問題。我們面對的問題絕不局限于狹義的算術(shù)計算，還有很多表面上不是那么“數(shù)學化”的問題。例如：

如何走出迷宮？
如何分割一張藏寶圖讓不同的人分別保存，但只有重新拼合才可能找到寶藏？
如何規(guī)劃路徑，用最小成本訪問多個地方？

這些問題極具挑戰(zhàn)，需要邏輯推理、幾何與組合想象力，還需要創(chuàng)造力才能解決。這些就是設(shè)計算法所需要的主要能力。

01 二分搜索

我新買的Nelly的唱片哪兒去啦？我那專橫的妹妹Linda有整潔癖，肯定是她將唱片又插進唱片架上了。我告訴她新買的唱片別插上去。這下我得在架子上的500張唱片中一張一張地找了，這該找到什么時候啊！

不過，走運的話也可能并不需要查看所有唱片就碰到了。但最壞的情況是Linda又把唱片借給朋友了，那得查完所有唱片才知道不在這里了，然后只好去聽廣播啦。

找找看吧！Aaliyah，AC/DC，Alicia Keys……嗯，Linda好像按字母順序給唱片排過序了。這樣的話我找Nelly的唱片就容易多了。

我先在中間試試。Kelly Family，這太偏左了，必須往右邊找。Rachmaninov，這又太偏右了，再往左一點兒……Lionel Hampton，右了點兒，但不遠了。Nancy Sinatra……Nelly，找到啦！

這倒很快！因為唱片已經(jīng)排了序，我只要來回跳幾次就找到目標了！即使我要的唱片不在架子上，我也能很快發(fā)現(xiàn)。不過如果唱片很多，比如說10 000張，那可能得來回跳上幾百次吧。我很想知道如何計算次數(shù)。圖1-1給出了不同搜索方法的示意。

▲圖1-1 順序搜索與二分搜索圖示

1. 順序搜索

Linda從去年開始學習計算機科學；她應(yīng)該有些書能告訴我答案。我看看，“搜索算法”可能有用。這里說了如何在一個給定集合（這里是唱片）中按照關(guān)鍵字（這里用藝術(shù)家的名字）找一個對象。我剛才的做法應(yīng)該是“順序搜索”，又叫“線性搜索”。

就像我想的一樣，為了找一個關(guān)鍵字，平均得檢查一半的唱片。搜索的步數(shù)和唱片數(shù)成正比，換句話說，唱片數(shù)增加一倍，搜索時間也就增加一倍。

2. 二分搜索

我用的第二種技術(shù)好像有個特別的名字，叫“二分搜索”。給定要找的關(guān)鍵字以及排好次序的對象列表，搜索從中間那個對象開始，和關(guān)鍵字進行比較。如何中間那個對象就是要找的，搜索就結(jié)束了。

否則，按照要找的關(guān)鍵字是小于還是大于當前檢查的對象決定該向左還是該向右繼續(xù)搜索。接下來就是重復(fù)上面的過程。

如果找到了搜尋的對象，或者當前可能搜索的區(qū)間已經(jīng)不能再切分了（也就是說如果表中有要找的對象，當前位置就該是目標應(yīng)該在的位置），搜索就終止。我妹妹的書中有相應(yīng)的程序代碼。

在這段代碼中，A表示一個“數(shù)組”，也就是由帶編號的對象（我們稱其為數(shù)組的元素）構(gòu)成的數(shù)據(jù)列表，編號就像唱片在架子上的位置。例如，數(shù)組中第5個元素寫為A[5]。

如果我們的架子上放了500張唱片，我們要找的關(guān)鍵字是"Nelly"，那就得調(diào)用BINARYSEARCH(rack, "Nelly", 1, 500)搜索要找的唱片所在位置。程序執(zhí)行時，開始的left值為251，right值為375，以此類推。

3. 遞歸實現(xiàn)

在Linda的書中還有另外一個二分搜索算法。同樣的功能為什么需要不同算法呢？書上說第二種算法采用“遞歸方法”，那又是什么呢？

我再仔細看看……“遞歸函數(shù)是一種利用自身來定義或者調(diào)用自己的函數(shù)。”求和函數(shù)sum就是個例子。函數(shù)sum的定義如下：

sum (n) = 1 + 2 + … + n

也就是前n個自然數(shù)相加，所以，當n = 4，可得：

sum (4) = 1 + 2 + 3 + 4 = 10

如果我們想計算對于某個n的sum函數(shù)值，而且已經(jīng)知道對于n-1的函數(shù)值，那只要再加上n就可以了：

sum (n) = sum (n-1) + n

這樣的定義式就稱為“遞歸步”。當要計算對于某個n的sum函數(shù)值時，我們還需要一個最小的n對應(yīng)的函數(shù)值，這稱為奠基：

sum (1) = 1

按照遞歸定義，我們現(xiàn)在計算sum函數(shù)值的過程如下：

sum (4) = sum (3) + 4

= (sum (2) + 3) + 4

= ((sum (1) + 2) + 3) + 4

= ((1 + 2) + 3) + 4

= 10

二分搜索的遞歸定義是一樣的：函數(shù)在函數(shù)體中調(diào)用自己，而不是反復(fù)執(zhí)行一組操作（那稱為循環(huán)實現(xiàn)）。

和前面一樣，A是要搜索的數(shù)組，key是要找的關(guān)鍵字，left和right分別是搜索區(qū)域的左右邊界。如果我們要在包含500個元素的數(shù)組rack中找Nelly，我們采用類似的函數(shù)調(diào)用BINSEARCHRECURSIVE(rack,"Nelly",1,500)。但這里不再通過程序循環(huán)使得搜索區(qū)域左右邊界逐步靠近，而是直接修改邊界值執(zhí)行遞歸調(diào)用。實際執(zhí)行的遞歸調(diào)用序列如下：

BINSEARCHRECURSIVE (rack, “Nelly”, 1, 500)

BINSEARCHRECURSIVE (rack, “Nelly”, 251, 500)

BINSEARCHRECURSIVE (rack, “Nelly”, 251, 374)

BINSEARCHRECURSIVE (rack, “Nelly”, 313, 374)

BINSEARCHRECURSIVE (rack, “Nelly”, 344, 374)

...

4. 搜索的步數(shù)

至此，我們?nèi)匀徊恢酪业剿璧膶ο缶烤乖搱?zhí)行多少搜索步。如果運氣好，一步就能找到。反之，如果要找的對象不存在，我們必須來回跳動直至對象應(yīng)該處于的位置。

這樣就需要考慮究竟數(shù)組能夠被切為兩半多少次，或者反過來說，當執(zhí)行了一定數(shù)量的比較操作后，究竟多少元素可以被確定是或者不是目標對象。

假設(shè)要找的對象確實在表中，一次比較可以確定2個元素，兩次比較可以確定4個元素，三次比較就能確定8個元素。因此執(zhí)行k次比較操作能夠確定2·2·…·2（k次）= 2^k個元素。由此可知10次比較可以確定1024個元素，20次比較能確定的元素超過100萬個，而30次比較能確定的元素多達10億個以上。

如果目標對象不在數(shù)組中，則需要多比較一次。為了能根據(jù)元素個數(shù)確定比較次數(shù)，我們需要逆運算，也就是2的乘冪的反函數(shù)，即“以2為底的對數(shù)”，記作log₂。一般地說：

假設(shè)a = b^x，則x = log_ba

對于以2為底的對數(shù)，b = 2：

2⁰ = 1, log₂ 1 = 0

2¹= 2, log₂ 2 = 1

2² = 4, log₂ 4 = 2

2³= 8, log₂ 8 = 3

. .

2¹⁰= 1 024, log₂ 1 024 = 10

. .

2¹³ = 8 192, log₂ 8 192 = 13

2¹⁴ = 16 384, log₂ 16 384 = 14

. .

2²⁰ = 1 048 576, log₂ 1 048 576 = 20

因此，若k次比較操作能確定N（= 2^k）個元素，那么對于含N個元素的數(shù)組，二分搜索需要執(zhí)行l(wèi)og₂ N = k次比較操作。如果我們的架子上放了10 000張唱片，我們需要比較log₂ 10 000≈13.29次。因為不可能比較“半次”，需要的次數(shù)為14。

要想進一步減少二分搜索需要的步數(shù)，可以在搜索過程中不是簡單地選擇中間元素進行比較，而是嘗試在搜索區(qū)域內(nèi)更準確地“猜測”可能的位置。

假設(shè)在已排序的唱片中搜索的對象名按字母順序更靠近區(qū)域開始處，例如找Eminem，顯然選擇前部的某個位置進行比較更好些。反之，要找“Roy Black”，從靠后的地方開始更合理。

若要更好地改進，就得考慮每個字母可能出現(xiàn)的頻率，例如首字母是D或S的藝術(shù)家通常比首字母是X或Y的更常見。

5. 猜數(shù)游戲

今晚我要考考Linda，讓她猜1到1000之間的某個數(shù)。只要上課沒睡覺，她就應(yīng)該能最多通過10個“是/否”的問題得到結(jié)果。（圖1-2顯示如何只問4個問題就猜出1到16之間的某個數(shù)。）

為了避免反復(fù)問那些“是小于某個數(shù)嗎？”或者“是大于某個數(shù)嗎？”那樣乏味的問題，我們可以選擇問“是奇數(shù)嗎？”或“是偶數(shù)嗎？”。因為一個回答就可以讓我們排除一半的可能性。

類似的問題包括“十（百）位數(shù)是奇（偶）數(shù)嗎？”，像這樣的問題同樣可以使搜索空間（大致）縮小一半。不過要確認考慮了所有可能的數(shù)，我們還得回到通常采用的減半方法（那些已經(jīng)被排除的數(shù)實際上已考慮在內(nèi)）。

如果采用二進制表示數(shù)，這個過程甚至會更簡單。十進制系統(tǒng)是用“10的乘冪的和”的形式表示數(shù)，例如：

107 = 1·10² + 0·10¹ + 7·10⁰

= 1·100 + 0·10 + 7·1

▲圖1-2 在1～16范圍內(nèi)猜出某個數(shù)的圖示

而在二進制系統(tǒng)中數(shù)是用“2的乘冪的和”的形式表示的：

107 = 1·2⁶ + 1·2⁵ + 0·2⁴ + 1·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 1·2⁰

= 1·64 + 1·32 + 0·16 + 1·8 + 0·4 + 1·2 + 1·1

因此107的二進制表示為1101011。要猜出一個二進制表示的數(shù)只要知道它最多多少位就足夠了。位數(shù)用以2為底的對數(shù)很容易計算。如果猜一個1到1000之間的數(shù)，可以計算如下：

log₂ 1000≈9.97（向上取整）

也就是說共有10位。因此問10個問題足夠了：“第1位數(shù)是1嗎？”“第2位數(shù)是1嗎？”“第3位數(shù)是1嗎？”等等。最后所有位都知道了還必須轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)，用一個掌上的計算器就能解決了。

02 插入排序

我們要把書架上所有的書按照書名排序，這樣需要哪本書時很快就能找到。

如何快速地實現(xiàn)排序呢？我們可以有幾種不同的想法。例如我們可以依次查看每本書，一旦發(fā)現(xiàn)兩本緊挨著的書的次序不對就交換一下位置。這種想法能行，因為最終任何兩本書的先后都不會錯，但這平均要花費太長的時間。

另一種想法是先找出書名最“小”的那本書放在第一個位置，然后在剩下的書中再找出最“小”的放在緊挨著的后面位置，以此類推直到所有書都放在了正確的地方。這種想法也能行；但是由于大量有用的線索沒有利用，多花費了許多時間。下面我們試試其他的想法。

下面的想法似乎比上面討論的更加自然。第一本書自然是排好的。接下來我們拿第一本書的書名與第二本書的書名做比較，如果次序不對就交換兩本書的位置。然后我們看下一本書在前面已經(jīng)排好序的部分中應(yīng)該放在什么位置。

這可以反復(fù)進行直到為所有的書安排了正確的位置。因為前面的書排序時提供的信息可供后面使用，這個方法應(yīng)該效率高一些。

現(xiàn)在把這個算法再細細看一下。第一本書單獨考慮可以看作排好了序。我們假設(shè)當前考慮的書是第i本書，而它左邊所有的書都已排好序了。要將第i本書加入序列中，我們首先查找它正確的位置，隨后將書插入即可；為此要將在正確位置右邊的所有書向右移動一個位置。

接下來對第i + 1本書重復(fù)以上過程，以此類推直到所有的書放到了正確位置。這個方法能快速產(chǎn)生正確結(jié)果，特別是如果我們采用第1章介紹的二分搜索尋找正確插入位置則效果更明顯。

我們現(xiàn)在來看看對任意數(shù)量的書，這個直觀的方法如何實現(xiàn)。為了描述起來簡單一些，我們用數(shù)字代替書名。

圖2-1中左邊的5本書（1，6，7，9，11）已經(jīng)排好序，而書名為5的書位置不正確。為了將5放入正確位置，首先與11交換位置，再與9交換位置，以此類推直到5到達正確位置。然后我們再處理書名為3的書，同樣通過與左側(cè)的書交換來到達正確位置。顯然最終所有的書都會放到正確的地方（見圖2-2）。

▲圖2-1 前5本書已排好序

▲圖2-2 書名為“5”的書移動到正確位置

以下是算法的代碼。這里使用數(shù)組A，其元素標號為1，2，3，…。A[i]表示數(shù)組中第i個元素的值。給n本書排序使用長度為n的數(shù)組，元素A[1]，A[2]，A[3]，…，A[n-1]，A[n]存放所有的書名。

現(xiàn)在考慮算法執(zhí)行花費的時間。我們考慮最壞的情況，所有書放置的位置正好與期望的次序相反，即書名最小的在最后的位置上，而書名最大的卻在最前面的位置上。

我們的算法讓第1本書與第2本書交換位置，第3本書要和前兩本書中每一本交換位置，第4本書則要和前面3本書中每一本交換位置，以此類推，最后的一本書得和前面n-1本書中的每一本交換位置。交換的總次數(shù)是：

1+2+3+...+(n-1)=n(n-1)/2

利用圖2-3很容易推導(dǎo)出上述公式。整個矩形中含n·（n-1）個單元格，其中一半用于比較與交換。圖中顯示的是絕對的最壞情況。考慮平均情況，我們可以假設(shè)只需要一半的比較與交換。

如果開始時書就幾乎是排好序的，需要的工作量會少很多；最好的情況是開始時所有的書都在正確的位置上，那只需要進行n-1次比較即可。

▲圖2-3 計算交換次數(shù)

你也許會看出算法還可以更簡潔些。不用交換相鄰的兩本書，而是將多本書向右移動，使得需要的插入位置空出來。如果2-4所示。

原來的k次兩兩置換操作，現(xiàn)在可以用k + 1次移動一本書的操作替代。算法修改如下：

▲圖2-4 計算交換次數(shù)

盡管在串行的計算機上此算法排序效率不高，但它的實現(xiàn)非常簡單，所以當需要排序的對象數(shù)量不太大，或者可以假設(shè)多數(shù)對象次序不錯的情況下還是會經(jīng)常使用插入排序算法。要對大量對象進行排序就會使用其他算法，如mergeSort和quickSort。那些算法理解起來會難一些，實現(xiàn)也更復(fù)雜。

關(guān)于作者：本書共有66位作者，主要來自德國、瑞士。由貝特霍爾德·弗金（Berthold V?cking）、赫爾穆特·阿爾特（Helmut Alt）、馬丁·迪茨費爾賓格（Martin Dietzfelbinger）、呂迪格·賴舒科（Rüdiger Reischuk）、克里斯蒂安·沙伊德勒（Christian Scheideler）、黑里貝特·沃爾默（Heribert Vollmer）、多蘿西婭·瓦格納（Dorothea Wagner）領(lǐng)銜編著。

本文摘編自《無處不在的算法》，經(jīng)出版方授權(quán)發(fā)布。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的写给中学生的算法入门：学代码之前看这篇就够了的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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