拉普拉斯變換的定義

其中

上述變換稱為拉普拉斯變換，簡稱拉氏變換。F(s)稱為f(t)的象函數，f(t)稱為F(s)的原函數。

通常使用符號表示拉普拉斯變換，表示拉普拉斯反變換。

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拉普拉斯變換的基本性質

線性性質

微分性質

積分性質

延遲性質

卷積定理

常用函數的拉氏變換

matlab計算驗證：

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拉普拉斯反變換的部分分式展開

先對分母多項式因式分解，求出D(s) = 0的根。

1.單根

求解得

將K值帶入，求解得

matlab計算驗證：

2.共軛復根

即

將K值帶入，求解得

matlab計算驗證：

3.重根

求解得，

matlab計算驗證：

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運算電路

基爾霍夫定律

進行拉氏變換

進行拉氏變換

電阻元件電壓電流關系

進行拉氏變換

電感元件電壓電流關系

進行拉氏變換

電容元件電壓電流關系

進行拉氏變換

耦合電感互感關系

進行拉氏變換

RLC串聯電路

進一步化簡

在初始條件下，因此

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應用拉普拉斯變換法分析線性電路

求S閉合后電感電流表達式

采用回路電流法求解

matlab建立方程組并求解，得

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網絡函數的極點、零點與沖激響應

s = zi時，H(s) = 0，所以zi稱為網絡函數的零點

s = pi時，H(s)趨近于無窮大，所以pi稱為網絡函數的極點

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網絡的沖激響應，，其中pi為極點

由上式可以看出

1.pi為負實根時，為衰減指數函數。pi為正實根時，為增長指數函數，|pi|越大衰減或增長速度越快。如果H(s)的極點都位于負實軸上，h(t)將隨t的增大而衰減，這種電路是穩定的；如果有一個極點位于正實軸上，h(t)將隨t的增大而增長，這種電路是不穩定的。

2.pi為共軛復根時，h(t)是以指數曲線為包絡線的正弦函數，其實部的正或負確定增長或衰減的正弦項。

3.pi為虛根時，則是純正弦項。

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網絡函數的極點、零點與頻率響應

用jw來代替，

則

，

因此，已知極點、零點，就可以可容易分析頻率響應

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總結

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