摘要：概率分布在許多領(lǐng)域都很常見(jiàn)，包括保險(xiǎn)、物理、工程、計(jì)算機(jī)科學(xué)甚至社會(huì)科學(xué)，如心理學(xué)和醫(yī)學(xué)。它易于應(yīng)用，并應(yīng)用很廣泛。本文重點(diǎn)介紹了日常生活中經(jīng)常能遇到的六個(gè)重要分布，并解釋了它們的應(yīng)用。

01 介紹

假設(shè)你是一所大學(xué)的老師。在對(duì)一周的作業(yè)進(jìn)行了檢查之后，你給所有的學(xué)生打了分?jǐn)?shù)。你把這些打了分?jǐn)?shù)的論文交給大學(xué)的數(shù)據(jù)錄入人員，并告訴他創(chuàng)建一個(gè)包含所有學(xué)生成績(jī)的電子表格。但這個(gè)人卻只存儲(chǔ)了成績(jī)，而沒(méi)有包含對(duì)應(yīng)的學(xué)生。

他又犯了另一個(gè)錯(cuò)誤，在匆忙中跳過(guò)了幾項(xiàng)，但我們卻不知道丟了誰(shuí)的成績(jī)。我們來(lái)看看如何來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題吧。

一種方法是將成績(jī)可視化，看看是否可以在數(shù)據(jù)中找到某種趨勢(shì)。

上面展示的圖形稱為數(shù)據(jù)的頻率分布。其中有一個(gè)平滑的曲線，但你注意到有一個(gè)異常情況了嗎？在某個(gè)特定的分?jǐn)?shù)范圍內(nèi)，數(shù)據(jù)的頻率異常低。所以，最準(zhǔn)確的猜測(cè)就是丟失值了，從而導(dǎo)致在分布中出現(xiàn)了凹陷。

這個(gè)過(guò)程展示了你該如何使用數(shù)據(jù)分析來(lái)嘗試解決現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題。對(duì)于任何一位數(shù)據(jù)科學(xué)家、學(xué)生或從業(yè)者來(lái)說(shuō)，分布是必須要知道的概念，它為分析和推理統(tǒng)計(jì)提供了基礎(chǔ)。

雖然概率為我們提供了數(shù)學(xué)上的計(jì)算，而分布卻可以幫助我們把內(nèi)部發(fā)生的事情可視化。

在本文中，我將介紹一些重要的概率分布，并會(huì)清晰全面地對(duì)它們進(jìn)行解釋。

注意：本文假設(shè)你已經(jīng)具有了概率方面的基本知識(shí)。如果沒(méi)有，可以參考這篇有關(guān)概率基礎(chǔ)的文章。

02 常見(jiàn)的數(shù)據(jù)類型

在開(kāi)始詳細(xì)講述分布之前，先來(lái)看看我們會(huì)遇到哪些種類的數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)可以分為離散的和連續(xù)的。

離散數(shù)據(jù)：顧名思義，只包含指定的值。例如，當(dāng)你投骰子的時(shí)候，輸出結(jié)果只可能是1、2、3、4、5或6，而不可能出現(xiàn)1.5或2.45。

連續(xù)數(shù)據(jù)：可以在給定的范圍內(nèi)取任何值。范圍可以是有限的，也可以是無(wú)限的。例如，女孩的體重或身高、路程的長(zhǎng)度。女孩的體重可以是54千克、54.5千克，或54.5436千克。

現(xiàn)在我們開(kāi)始學(xué)習(xí)分布的類型。

03 分布的類型

伯努利分布

我們首先從最簡(jiǎn)單的分布伯努利分布開(kāi)始。

伯努利分布只有兩種可能的結(jié)果，1（成功）和0（失敗）。因此，具有伯努利分布的隨機(jī)變量X可以取值為1，也就是成功的概率，可以用p來(lái)表示，也可以取值為0，即失敗的概率，用q或1-p來(lái)表示。

概率質(zhì)量函數(shù)由下式給出：px(1-p)1-x， 其中x € (0, 1)。它也可以寫(xiě)成：

成功與失敗的概率不一定相等。這里，成功的概率（p）與失敗的概率不同。所以，下圖顯示了我們之間比賽結(jié)果的伯努利分布。

這里，成功的概率 = 0.15，失敗的概率 = 0.85 。如果我打了你，我可能會(huì)期待你向我打回來(lái)。任何分布的基本預(yù)期值是分布的平均值。來(lái)自伯努利分布的隨機(jī)變量X的期望值如為：

E(X) = 1*p + 0*(1-p) = p

隨機(jī)變量與二項(xiàng)分布的方差為：

V(X) = E(X2) – [E(X)]2 = p – p2 = p(1-p)

伯努利分布的例子有很多，比如說(shuō)明天是否要下雨，如果下雨則表示成功，如果不下雨，則表示失敗。

均勻分布

對(duì)于投骰子來(lái)說(shuō)，結(jié)果是1到6。得到任何一個(gè)結(jié)果的概率是相等的，這就是均勻分布的基礎(chǔ)。與伯努利分布不同，均勻分布的所有可能結(jié)果的n個(gè)數(shù)也是相等的。

如果變量X是均勻分布的，則密度函數(shù)可以表示為：

均勻分布的曲線是這樣的：

你可以看到，均勻分布曲線的形狀是一個(gè)矩形，這也是均勻分布又稱為矩形分布的原因。其中，a和b是參數(shù)。

花店每天銷售的花束數(shù)量是均勻分布的，最多為40，最少為10。我們來(lái)計(jì)算一下日銷售量在15到30之間的概率。

日銷售量在15到30之間的概率為(30-15)*(1/(40-10)) = 0.5

同樣地，日銷售量大于20的概率為 = 0.667

遵循均勻分布的X的平均值和方差為：

平均值 -> E(X) = (a+b)/2

方差 -> V(X) = ?(b-a)2/12

標(biāo)準(zhǔn)均勻密度的參數(shù) a = 0 和 b = 1，因此標(biāo)準(zhǔn)均勻密度由下式給出：

二項(xiàng)分布

讓我們來(lái)看看玩板球這個(gè)例子。假設(shè)你今天贏了一場(chǎng)比賽，這表示一個(gè)成功的事件。你再比了一場(chǎng)，但你輸了。如果你今天贏了一場(chǎng)比賽，但這并不表示你明天肯定會(huì)贏。我們來(lái)分配一個(gè)隨機(jī)變量X，用于表示贏得的次數(shù)。 X可能的值是多少呢？它可以是任意值，這取決于你擲硬幣的次數(shù)。

只有兩種可能的結(jié)果，成功和失敗。因此，成功的概率 = 0.5，失敗的概率可以很容易地計(jì)算得到：q = p – 1 = 0.5。

二項(xiàng)式分布就是只有兩個(gè)可能結(jié)果的分布，比如成功或失敗、得到或者丟失、贏或敗，每一次嘗試成功和失敗的概率相等。

結(jié)果有可能不一定相等。如果在實(shí)驗(yàn)中成功的概率為0.2，則失敗的概率可以很容易地計(jì)算得到 q = 1 - 0.2 = 0.8。

每一次嘗試都是獨(dú)立的，因?yàn)榍耙淮瓮稊S的結(jié)果不能決定或影響當(dāng)前投擲的結(jié)果。只有兩個(gè)可能的結(jié)果并且重復(fù)n次的實(shí)驗(yàn)叫做二項(xiàng)式。二項(xiàng)分布的參數(shù)是n和p，其中n是試驗(yàn)的總數(shù)，p是每次試驗(yàn)成功的概率。

在上述說(shuō)明的基礎(chǔ)上，二項(xiàng)式分布的屬性包括：

1. 每個(gè)試驗(yàn)都是獨(dú)立的。

2. 在試驗(yàn)中只有兩個(gè)可能的結(jié)果：成功或失敗。

3. 總共進(jìn)行了n次相同的試驗(yàn)。

4. 所有試驗(yàn)成功和失敗的概率是相同的。 （試驗(yàn)是一樣的）

二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)表示由下式給出：

成功概率不等于失敗概率的二項(xiàng)分布圖：

現(xiàn)在，當(dāng)成功的概率 = 失敗的概率時(shí)，二項(xiàng)分布圖如下

二項(xiàng)分布的均值和方差由下式給出：

平均值 -> μ = n*p

方差 -> Var(X) = n*p*q

正態(tài)分布

正態(tài)分布代表了宇宙中大多數(shù)情況的運(yùn)轉(zhuǎn)狀態(tài)。大量的隨機(jī)變量被證明是正態(tài)分布的。任何一個(gè)分布只要具有以下特征，則可以稱為正態(tài)分布：

1. 分布的平均值、中位數(shù)和模式一致。

2. 分布曲線是鐘形的，關(guān)于線 x = μ 對(duì)稱。

3. 曲線下的總面積為1。

4. 有一半的值在中心的左邊，另一半在右邊。

正態(tài)分布與二項(xiàng)分布有著很大的不同。然而，如果試驗(yàn)次數(shù)接近于無(wú)窮大，則它們的形狀會(huì)變得十分相似。

遵循正態(tài)分布的隨機(jī)變量X的值由下式給出：

正態(tài)分布的隨機(jī)變量X的均值和方差由下式給出：

均值 -> E(X) = μ

方差 -> Var(X) = σ^2

其中，μ（平均）和σ（標(biāo)準(zhǔn)偏差）是參數(shù)。

隨機(jī)變量X?N（μ，σ）的圖如下所示。

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布定義為平均值等于0，標(biāo)準(zhǔn)偏差等于1的分布：

泊松分布

假設(shè)你在一個(gè)呼叫中心工作，一天里你大概會(huì)接到多少個(gè)電話？它可以是任何一個(gè)數(shù)字。現(xiàn)在，呼叫中心一天的呼叫總數(shù)可以用泊松分布來(lái)建模。這里有一些例子：

1. 醫(yī)院在一天內(nèi)錄制的緊急電話的數(shù)量。

2. 某個(gè)地區(qū)在一天內(nèi)報(bào)告的失竊的數(shù)量。

3. 在一小時(shí)內(nèi)抵達(dá)沙龍的客戶人數(shù)。

4. 在特定城市上報(bào)的自殺人數(shù)。

5. 書(shū)中每一頁(yè)打印錯(cuò)誤的數(shù)量。

泊松分布適用于在隨機(jī)時(shí)間和空間上發(fā)生事件的情況，其中，我們只關(guān)注事件發(fā)生的次數(shù)。

當(dāng)以下假設(shè)有效時(shí)，則稱為**泊松分布**

1. 任何一個(gè)成功的事件都不應(yīng)該影響另一個(gè)成功的事件。

2. 在短時(shí)間內(nèi)成功的概率必須等于在更長(zhǎng)的間內(nèi)成功的概率。

3. 時(shí)間間隔變小時(shí)，在給間隔時(shí)間內(nèi)成功的概率趨向于零。

泊松分布中使用了這些符號(hào)：

• λ是事件發(fā)生的速率

• t是時(shí)間間隔的長(zhǎng)

• X是該時(shí)間間隔內(nèi)的事件數(shù)。

其中，X稱為泊松隨機(jī)變量，X的概率分布稱為泊松分布。

令μ表示長(zhǎng)度為t的間隔中的平均事件數(shù)。那么，μ = λ*t。

泊松分布的X由下式給出：

平均值μ是該分布的參數(shù)。 μ也定義為該間隔的λ倍長(zhǎng)度。泊松分布圖如下所示：

下圖顯示了隨著平均值的增加曲線的偏移情況：

可以看出，隨著平均值的增加，曲線向右移動(dòng)。

泊松分布中X的均值和方差：

均值 -> E(X) = μ
方差 -> Var(X) = μ

指數(shù)分布

讓我們?cè)僖淮慰纯春艚兄行牡哪莻€(gè)例子。不同呼叫之間的時(shí)間間隔是多少呢？在這里，指數(shù)分布模擬了呼叫之間的時(shí)間間隔。

其他類似的例子有：

1. 地鐵到達(dá)時(shí)間間隔

2. 到達(dá)加油站的時(shí)間

3. 空調(diào)的壽命

指數(shù)分布廣泛用于生存分析。從機(jī)器的預(yù)期壽命到人類的預(yù)期壽命，指數(shù)分布都能成功地提供結(jié)果。

具有**的指數(shù)分布**的隨機(jī)變量X：

f(x) = { λe-λx,? x ≥ 0

參數(shù) λ>0 也稱為速率。

對(duì)于生存分析，λ被稱為任何時(shí)刻t的設(shè)備的故障率，假定它已經(jīng)存活到t時(shí)刻。

遵循指數(shù)分布的隨機(jī)變量X的均值和方差為：

平均值 -> E(X) = 1/λ

方差 -> Var(X) = (1/λ)2

此外，速率越大，曲線下降越快，速率越慢，曲線越平坦。下面的圖很好地解釋了這一點(diǎn)。

為了簡(jiǎn)化計(jì)算，下面給出一些公式。

P{X≤x} = 1 – e-λx 對(duì)應(yīng)于x左側(cè)曲線下的面積。

PP{X>x} = e-λx 對(duì)應(yīng)于x右側(cè)曲線下的面積。

P{x1-λx1 – e-λx2, corresponds to the area under the density curve between x1 and x2.

P{x1-λx1 – e-λx2 對(duì)應(yīng)于x1和x2之間地曲線下的面積。

04 各種分布之間的關(guān)系

伯努利與二項(xiàng)分布之間的關(guān)系

1.?伯努利分布是具有單項(xiàng)試驗(yàn)的二項(xiàng)式分布的特殊情況。
2. 伯努利分布和二項(xiàng)式分布只有兩種可能的結(jié)果，即成功與失敗。
3. 伯努利分布和

二項(xiàng)式分布都具有獨(dú)立的軌跡。

泊松與二項(xiàng)式分布之間的關(guān)系

泊松分布在滿足以下條件的情況下是二項(xiàng)式分布的極限情況：

1. 試驗(yàn)次數(shù)無(wú)限大或n → ∞。

2. 每個(gè)試驗(yàn)成功的概率是相同的，無(wú)限小的，或p → 0。

3. np = λ，是有限的。

正態(tài)分布關(guān)系

正態(tài)分布是在滿足以下條件的情況下二項(xiàng)分布的另一種限制形式：

1. 試驗(yàn)次數(shù)無(wú)限大，n → ∞。

2. p和q都不是無(wú)限小。

正態(tài)分布也是參數(shù)λ → ∞的泊松分布的極限情況。

指數(shù)和泊松分布之間的關(guān)系

如果隨機(jī)事件之間的時(shí)間遵循速率為λ的指數(shù)分布，則時(shí)間長(zhǎng)度t內(nèi)的事件總數(shù)遵循具有參數(shù)λt的泊松分布。

05 結(jié)束語(yǔ)

概率分布在許多領(lǐng)域都很常見(jiàn)，包括保險(xiǎn)、物理、工程、計(jì)算機(jī)科學(xué)甚至社會(huì)科學(xué)，如心理學(xué)和醫(yī)學(xué)。它易于應(yīng)用，并應(yīng)用很廣泛。本文重點(diǎn)介紹了日常生活中經(jīng)常能遇到的六個(gè)重要分布，并解釋了它們的應(yīng)用?，F(xiàn)在，你已經(jīng)能夠識(shí)別、關(guān)聯(lián)和區(qū)分這些分布了。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的每个数据科学专家都应该知道的六个概率分布的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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