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各階幻方的構造算法

奇數階幻方

拉-盧貝爾算法

這個算法又稱“階梯法”。算法如下：

將1置于第一行中間。

將下一個數字置于當前數字的右上角。如果已經處于方陣的邊界，則放在方陣的對邊（如圖1中的2和4）。

若出現下面兩種情況，則將下一個數字放于當前數字的下方：

• 當前位置的右上角已經有一個數字（如圖2中的6和11）。
• 當前位置已經是方陣的右上方（如圖2中的16）。

結束，如圖3.

拉-盧貝爾算法

菱形算法

另一種由康韋（J.H.Conway）建立的算法被稱為“菱形算法”，步驟如下（以5x5為例）：

從左邊中間開始，將奇數在方陣內填成一個菱形。

將方陣分成5條對角線，每條對角線上有5個方格。如果圖1所示。

從第一條對角線開始將偶數填入剩余的空格內，圖2中填滿了前兩條對角線。

結束，如圖3。

菱形算法

單偶數階幻方

侓克斯算法

這個算法也是由康韋給出的。思想是將方陣分成多個2x2的小方陣，小方陣按照位置分成L、U、X三種類型。然后在大體上按照盧-拉貝爾算法來走，在每個小方陣中根據小方陣的類型來填數。具體算法如下：

將方陣分成(2i+1)個(2x2)的小方陣，小方陣的分類這樣確定：前i+1行是L類型，后面一行是U類型，最后的i-1行是X類型，然后交換第i+1行和第i+2行中間小方陣的類型。對于10x10的方陣如圖1。

L、U、X的填法如圖2。

最終結果如圖3。

LUX算法

加法算法

將一個幻方加上另外一個幻方所得的和仍然具有幻方的特性，只是可能會有重復項，這是幻方的加法特性。下面的方法就是根據這個特性設計的，首先建立兩個方陣A、B，具有幻方的特性（橫、縱、斜和相同），然后讓A加上B的i倍，就得到一個幻方。假如我們要作一個4i+2階幻方（此處以14為例）。具體算法如下：

先作一個14（4i+2）階的方陣A，這個方陣分成4個7（2i+1）階小方陣，每個小方陣是一個奇數階的幻方，奇數階幻方構造方法已經有了。如圖1。

再作一個14（4i+2）階的方陣B，這個方陣只由0、1、2、3構成，具體作法如下：

第一列：3（i）個3,4（i+1）個0,5（i+2）個2,2（i-1）個1

前7（2i+1）列與都與第一列相同，只有第4（i+1）列例外，該列第一個3和第一個0交換位置。

后7（2i+1）列與前7（2i+1）列相同，不過3和0交換，1和2交換。

結果如圖2。

構造幻方C=A+i²B。如圖3,C即所求。

加法算法

替代算法

這個是最難的一個。對于2i+2的幻方（以6為例）：

將幻方分成A、B、C、D、E、F、G、H和I幾個區,如圖1。

類似于雙偶數階幻方的分割算法，將處于上述分區中的格子填數，如圖2。

然后在空格上（i+1和3i+1行列）填上數，如圖3。

替代算法

好吧，太難了，中譯本翻譯得又很不清楚，不寫了，等有機會看到更好的版本再加上。

雙偶數階幻方

分割算法

將方陣分成16個小方陣，如圖1。

先在A、C、E、G、I方陣中填入數字，其他方陣跳過,如圖2。

再逆序（從右下往左上）趕往余下的數字,如圖3。

結束，如圖3

分割算法

下面是一個8次的方陣：

8次方陣

對角線算法

將數字順序填入方陣內,如圖1。

將方陣分成四個相同大小的方陣。并找出每個小方陣的對角線，如圖1陰影部分。

將陰影部分旋轉180度，如圖2。

對角線算法

Date: 2012-12-06 四

Author: Hu Wenbiao

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轉載于:https://www.cnblogs.com/Open_Source/archive/2013/02/22/2922031.html

總結

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