01 背包

有n 種不同的物品，每個(gè)物品有兩個(gè)屬性，size 體積，value 價(jià)值，現(xiàn)在給一個(gè)容量為 w 的背包，問最多可帶走多少價(jià)值的物品。 ?

int f[w+1]; //f[x] 表示背包容量為x 時(shí)的最大價(jià)值 for (int i=0; i<n; i++)for (int j=w; j>=size[i]; j--)f[j] = max(f[j], f[j-size[i]]+value[i]);

完全背包?

如果物品不計(jì)件數(shù)，就是每個(gè)物品不只一件的話，稍微改下即可 ?

for (int i=0; i<n; i++)for (int j=size[i]; j<=w; j++)f[j] = max(f[j], f[j-size[i]]+value[i]);

??
? ? ? ? ?f[w] 即為所求 ?
??????? 初始化分兩種情況：
??????? 1、如果背包要求正好裝滿則初始化 f[0] = 0, f[1~w] = -INF; ?

??????? 2、如果不需要正好裝滿 f[0~v] = 0; ?

? ? ? ? 舉例：

01背包

V=10，N=3，c[]={3,4,5}, w={4,5,6}

（1）背包不一定裝滿

? ? ? 計(jì)算順序是：從右往左，自上而下：因?yàn)槊總€(gè)物品只能放一次，前面的體積小的會(huì)影響體積大的

（2）背包剛好裝滿 ? ?

? ? ? 計(jì)算順序是：從右往左，自上而下。注意初始值，其中-inf表示負(fù)無窮

完全背包 ：

V=10，N=3，c[]={3,4,5}, w={4,5,6}

（1）背包不一定裝滿

計(jì)算順序是：從左往右，自上而下： ?每個(gè)物品可以放多次，前面的會(huì)影響后面的

（2）背包剛好裝滿

計(jì)算順序是：從左往右，自上而下。注意初始值，其中-inf表示負(fù)無窮

多重背包 ： ?
? ? ? ? ?多重背包問題要求很簡單，就是每件物品給出確定的件數(shù)，求 可得到的最大價(jià)值 ?
? ? ? ? ?多重背包轉(zhuǎn)換成 01 背包問題就是多了個(gè)初始化，把它的件數(shù)C 用二進(jìn)制 分解成若干個(gè)件數(shù)的集合，這里面數(shù)字可以組合成任意小于等于C 的件數(shù)，而且不會(huì)重復(fù)，之所以叫二進(jìn)制分解，是因?yàn)檫@樣分解可 以用數(shù)字的二進(jìn)制形式來解釋 ?
? ? ? ?比如：7的二進(jìn)制 7 = 111 它可以分解成 001 010 100 這三個(gè)數(shù)可以 組合成任意小于等于7 的數(shù)，而且每種組合都會(huì)得到不同的數(shù) ?
? ? ? ?15 = 1111 可分解成 0001? 0010? 0100? 1000 四個(gè)數(shù)字 ?
??????? 如果13 = 1101 則分解為 0001 0010 0100 0110 前三個(gè)數(shù)字可以組合成 ? 7以內(nèi)任意一個(gè)數(shù)，即1、2、4可以組合為1——7內(nèi)所有的數(shù)，加上 0110 = 6 可以組合成任意一個(gè)大于6 小于等于13 的數(shù)，比如12，可以讓前面貢獻(xiàn)6且后面也貢獻(xiàn)6就行了。雖然有重復(fù)但總是能把 13 以內(nèi)所有的數(shù)都考慮到了，基于這種 思想去把多件物品轉(zhuǎn)換為，多種一件物品，就可用01 背包求解了。 ?
???? ? 看代碼： ?
?????? int n; //輸入有多少種物品 int c; //每種物品有多少件 int v; //每種物品的價(jià)值 int s; //每種物品的尺寸 int count = 0; //分解后可得到多少種物品 int value[MAX]; //用來保存分解后的物品價(jià)值 int size[MAX]; //用來保存分解后物品體積scanf("%d", &n); //先輸入有多少種物品，接下來對(duì)每種物品進(jìn)行分解while (n--) //接下來輸入n中這個(gè)物品 {scanf("%d%d%d", &c, &s, &v); //輸入每種物品的數(shù)目和價(jià)值for (int k=1; k<=c; k<<=1) //<<右移 相當(dāng)于乘二{value[count] = k*v;size[count++] = k*s;c -= k;}if (c > 0){value[count] = c*v;size[count++] = c*s;} }

定理：一個(gè)正整數(shù)n可以被分解成1,2,4,…,2^(k-1),n-2^k+1（k是滿足n-2^k+1>0的最大整數(shù)）的形式，且1～n之內(nèi)的所有整數(shù)均可以唯一表示成1,2,4,…,2^(k-1),n-2^k+1中某幾個(gè)數(shù)的和的形式。

證明如下：

（1） 數(shù)列1,2,4,…,2^(k-1),n-2^k+1中所有元素的和為n，所以若干元素的和的范圍為：[1, n]；

（2）如果正整數(shù)t<= 2^k – 1,則t一定能用1,2,4,…,2^(k-1)中某幾個(gè)數(shù)的和表示，這個(gè)很容易證明：我們把t的二進(jìn)制表示寫出來，很明顯，t可以表示成n=a0*2^0+a1*2^1+…+ak*2^（k-1），其中ak=0或者1，表示t的第ak位二進(jìn)制數(shù)為0或者1.

（3）如果t>=2^k,設(shè)s=n-2^k+1，則t-s<=2^k-1，因而t-s可以表示成1,2,4,…,2^(k-1)中某幾個(gè)數(shù)的和的形式，進(jìn)而t可以表示成1,2,4,…,2^(k-1)，s中某幾個(gè)數(shù)的和（加數(shù)中一定含有s）的形式。

（證畢！）

???? ?

??????? 現(xiàn)在用count 代替 n 就和01 背包問題完全一樣了??

杭電2191題解：此為多重背包用01和完全背包：

#include<stdio.h> #include<string.h> int dp[102]; int p[102],h[102],c[102]; int n,m; void comback(int v,int w)//經(jīng)費(fèi)，重量。完全背包； {for(int i=v; i<=n; i++)if(dp[i]<dp[i-v]+w)dp[i]=dp[i-v]+w; } void oneback(int v,int w)//經(jīng)費(fèi)，重量；01背包； {for(int i=n; i>=v; i--)if(dp[i]<dp[i-v]+w)dp[i]=dp[i-v]+w; } int main() {int ncase,i,j,k;scanf("%d",&ncase);while(ncase--){memset(dp,0,sizeof(dp));scanf("%d%d",&n,&m);//經(jīng)費(fèi)，種類；for(i=1; i<=m; i++){scanf("%d%d%d",&p[i],&h[i],&c[i]);//價(jià)值，重量，數(shù)量;if(p[i]*c[i]>=n) comback(p[i],h[i]);else{for(j=1; j<c[i]; j<<1){oneback(j*p[i],j*h[i]);c[i]=c[i]-j;}oneback(p[i]*c[i],h[i]*c[i]);}}printf("%d\n",dp[n]);}return 0; }

只是用01背包，用二進(jìn)制優(yōu)化：

#include <iostream> using namespace std; int main() {int nCase,Limit,nKind,i,j,k, v[111],w[111],c[111],dp[111];//v[]存價(jià)值，w[]存尺寸，c[]存件數(shù)//在本題中，價(jià)值是米的重量，尺寸是米的價(jià)格int count,Value[1111],size[1111];//count存儲(chǔ)分解完后的物品總數(shù)//Value存儲(chǔ)分解完后每件物品的價(jià)值//size存儲(chǔ)分解完后每件物品的尺寸cin>>nCase;while(nCase--){count=0;cin>>Limit>>nKind;for(i=0; i<nKind; i++){cin>>w[i]>>v[i]>>c[i];//對(duì)該種類的c[i]件物品進(jìn)行二進(jìn)制分解for(j=1; j<=c[i]; j<<=1){//<<左移1位，相當(dāng)于乘2Value[count]=j*v[i];size[count++]=j*w[i];c[i]-=j;}if(c[i]>0){Value[count]=c[i]*v[i];size[count++]=c[i]*w[i];}}//經(jīng)過上面對(duì)每一種物品的分解，//現(xiàn)在Value[]存的就是分解后的物品價(jià)值//size[]存的就是分解后的物品尺寸//count就相當(dāng)于原來的n//下面就直接用01背包算法來解memset(dp,0,sizeof(dp));for(i=0; i<count; i++)for(j=Limit; j>=size[i]; j--)if(dp[j]<dp[j-size[i]]+Value[i])dp[j]=dp[j-size[i]]+Value[i];cout<<dp[Limit]<<endl;}return 0; }

未優(yōu)化的：

#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> using namespace std;int Value[105]; int Cost[105]; int Bag[105]; int dp[105];int main() {int C,m,n;scanf("%d",&C);while(C--){scanf("%d%d",&n,&m);for(int i = 1; i <= m; i++)scanf("%d%d%d",&Cost[i],&Value[i],&Bag[i]);memset(dp,0,sizeof(dp));for(int i=1; i<= m; i++)for(int j=1; j<=Bag[i]; j++)for(int k=n; k>=Cost[i]; k--)dp[k]=max(dp[k], dp[k-Cost[i]]+Value[i]);printf("%d\n",dp[n]);}return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的经典背包问题 01背包+完全背包+多重背包的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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