糖果傳遞

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?老師準備了一堆糖果,?恰好n個小朋友可以分到數目一樣多的糖果.?老師要n個小朋友去拿糖果,?然后圍著圓桌坐好,?第1個小朋友的左邊是第n個小朋友,?其他第i個小朋友左邊是第i-1個小朋友.?大家坐好后,?老師發現,?有些小朋友搶了很多的糖果,?有的小朋友只得到了一點點糖果,?甚至一顆也沒有L,?設第i個小朋友有a_i顆糖果.?小朋友們可以選擇將一些糖果給他左邊的或者右邊的小朋友,?通過”糖果傳遞”最后使得每個小朋友得到的糖果數是一樣多的,?假設一顆糖果從一個小朋友傳給另一個小朋友的代價是1,?問怎樣傳遞使得所耗的總代價最小.

Input

輸入文件第一行一個正整數n,表示小朋友的個數. 接下來n行,每行一個整數a_i,表示第i個小朋友得到的糖果的顆數. n<=1000000. a_i>=0,?保證a_i在longint/int范圍內, a_i的總和在int64/long long范圍內.

Output

輸出只有一個數,?表示最小代價.

Sample Input

4 1 2 5 4

Sample Output

4

這是昨天周賽的一道題，當時沒有做出來，不過我認為這確實是一道好題。

這道題目看起來很復雜，仔細分析一下并不是太難。 首先，最終每個小朋友的糖果數量可以計算出來，等于糖果總數除以n，用ave表示。 假設標號為i的小朋友開始有Ai顆糖果，Xi表示第i個小朋友給了第i-1個小朋友Xi顆糖果，如果Xi<0，說明第i-1個小朋友給了第i個小朋友Xi顆糖果，X1表示第一個小朋友給第n個小朋友的糖果數量。 所以最后的答案就是ans=|X1| + |X2| + |X3| + ……+ |Xn|。 對于第一個小朋友，他給了第n個小朋友X1顆糖果，還剩A1-X1顆糖果；但因為第2個小朋友給了他X2顆糖果，所以最后還剩A1-X1+X2顆糖果。根據題意，最后的糖果數量等于ave，即得到了一個方程：A1-X1+X2=ave。 同理，對于第2個小朋友，有A2-X2+X3=ave。最終，我們可以得到n個方程，一共有n個變量，但是因為從前n-1個方程可以推導出最后一個方程，所以實際上只有n-1個方程是有用的。 盡管無法直接解出答案，但可以用X1表示出其他的Xi，那么本題就變成了單變量的極值問題。 對于第1個小朋友，A1-X1+X2=ave ?-> ?X2=ave-A1+X1 = X1-C1(假設C1=A1-ave，下面類似） 對于第2個小朋友，A2-X2+X3=ave ?-> ?X3=ave-A2+X2=2ave-A1-A2-x2+X1=X1-C2 對于第3個小朋友，A3-X3+X4=ave ?-> ?X4=ave-A3+X3=3ave-A1-A2-A3+X1=X1-C3 …… 對于第n個小朋友，An-Xn+X1=ave。 ? 我們希望Xi的絕對值之和盡量小，即|X1| + |X1-C1| + |X1-C2| + ……+ |X1-Cn-1|要盡量小。注意到|X1-Ci|的幾何意義是數軸上的點X1到Ci的距離，所以問題變成了：給定數軸上的n個點，找出一個到他們的距離之和盡量小的點，而這個點就是這些數中的中位數，具體證明在此省略，請自己證明。
#include<stdio.h> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long LL; const int N = 1000000 + 10; int a[N], c[N]; int main() {int n, i;while(~scanf("%d",&n)){LL sum = 0;for(i = 1; i <= n; i++){scanf("%d",&a[i]);sum += (long long)a[i];}LL ave = sum / n;c[1] = 0;for(i = 2; i <= n; i++)c[i] = c[i-1] + a[i] - ave; sort(c+1,c+n+1);LL ans = 0;int mid = c[n/2+1]; //中位數for(i = 1; i <= n; i++)ans += abs(c[i] - mid); //距離和printf("%lld\n",ans);}return 0; }

與50位技術專家面對面20年技術見證，附贈技術全景圖

總結

以上是生活随笔為你收集整理的糖果传递 （数学题）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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